Mathematik für Anwender

Eine physikalische Größe ist das Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Die Angabe P=2\unit{kW} heißt 2 mal ein Kilowatt. Die Zahl 2 allein legt die Leistung nicht fest: 2 kW und 2 W unterscheiden sich um den Faktor 1000. Mit Einheiten rechnet man wie mit Faktoren, etwa 3\unit{m}\cdot4\unit{m}=12\unit{m^2} oder 100\unit{km}/(2\unit{h})=50\unit{km/h}. Wer die Einheit bei jedem Zwischenergebnis mitschreibt, sieht am Ende, ob die gesuchte Größe herauskommt.

Das Internationale Einheitensystem (SI) hat sieben Basiseinheiten: Sekunde (s) für die Zeit, Meter (m) für die Länge, Kilogramm (kg) für die Masse, Ampere (A) für die elektrische Stromstärke, Kelvin (K) für die Temperatur, Mol (mol) für die Stoffmenge und Candela (cd) für die Lichtstärke. Alle anderen Einheiten sind daraus abgeleitet: Newton für Kräfte (1\unit{N}=1\unit{kg\,m/s^2}), Joule für Energie (1\unit{J}=1\unit{N\,m}), Watt für Leistung (1\unit{W}=1\unit{J/s}), Pascal für Druck (1\unit{Pa}=1\unit{N/m^2}) und Volt für die elektrische Spannung (1\unit{V}=1\unit{W/A}). Vorsätze stehen für Zehnerpotenzen: nano (n) 10^{-9}, mikro (µ) 10^{-6}, milli (m) 10^{-3}, kilo (k) 10^{3}, mega (M) 10^{6}, giga (G) 10^{9}, tera (T) 10^{12}.

Umgerechnet wird mit Brüchen, deren Wert eins ist, weil Zähler und Nenner gleich groß sind, etwa \frac{1000\unit{m}}{1\unit{km}} oder \frac{1\unit{h}}{3600\unit{s}}. Multipliziert man eine Größe damit, ändert sich nur die Schreibweise: 72\unit{km/h}=72\cdot\frac{1000\unit{m}}{3600\unit{s}}=20\unit{m/s}. Ebenso ist 1\unit{kWh}=1000\unit{W}\cdot3600\unit{s}=3,6\cdot10^{6}\unit{J}=3,6\unit{MJ}. Ob der Bruch richtig herum steht, zeigt sich daran, dass sich die alte Einheit wegkürzt.

Für Temperaturen gibt es zwei Skalen mit gleicher Schrittweite. Die Celsius-Skala hat ihren Nullpunkt am Gefrierpunkt des Wassers, die Kelvin-Skala am absoluten Nullpunkt. Die Temperatur in Kelvin ist die Temperatur in Grad Celsius plus 273,15; aus 20 °C werden 293,15 K. Eine Temperaturdifferenz ist in beiden Skalen gleich groß: Erwärmt sich Wasser von 15 °C auf 60 °C, beträgt die Differenz 45 K.

Jede Größe hat eine Dimension, die angibt, wie sie aus den Basisgrößen aufgebaut ist, etwa \dim P=\mathsf{L}^2\,\mathsf{M}\,\mathsf{T}^{-3} für eine Leistung (L Länge, M Masse, T Zeit; dazu I für die Stromstärke und Θ für die Temperatur). Eine physikalisch richtige Gleichung ist dimensionshomogen: Beide Seiten und alle Summanden haben dieselbe Dimension, und die Argumente von \exp, \ln oder \sin sind dimensionslos. Die Dimensionsprobe prüft das, indem man für jeden Faktor die Hochzahlen der Basiseinheiten notiert und addiert. Für die Leistung des Windes durch die Rotorfläche A, P=\frac12\rho A v^3, ergibt sich \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\cdot\mathrm{m^2}\cdot\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s^3}}=\mathrm{kg\,m^2\,s^{-3}}=\mathrm{W} Die Probe findet vergessene Größen und falsche Potenzen. Reine Zahlenfaktoren wie \frac12 oder 2\pi erfasst sie nicht.

Eine Größengleichung wie P=\frac12\rho A v^3 gilt mit beliebigen Einheiten, solange man Zahlenwert mal Einheit einsetzt. Datenblätter und Faustformeln verwenden oft zugeschnittene Größengleichungen nach DIN 1313, in denen jede Größe durch eine bestimmte Einheit geteilt ist. Für die Wellenleistung aus dem Drehmoment M und der Drehzahl n gilt \frac{P}{\mathrm{kW}}=\frac{1}{9549}\cdot\frac{M}{\mathrm{N\,m}}\cdot\frac{n}{\mathrm{min^{-1}}} Die Zahl 9549 fasst 2\pi, 60 s/min und 1000 W/kW zusammen; mit anderen Einheiten eingesetzt liefert die Formel falsche Werte. In der Schreibweise der Norm bedeutet [P] die Einheit von P. Spaltenköpfe wie „P [kW]“ sind deshalb nicht normgerecht, richtig ist „P in kW“ oder „P/kW“.

Die Energiestatistik verwendet neben Joule und Kilowattstunde ältere Einheiten. Die Steinkohleeinheit (SKE) ist festgelegt als 1\unit{kg\,SKE}=7000\unit{kcal}=29,3076\unit{MJ}; die AG Energiebilanzen rechnet mit 1 Mio. t SKE = 29,308 PJ. Für die Rohöleinheit (tonne of oil equivalent, toe) verwenden Eurostat und die Statistikabteilung der Vereinten Nationen 41,868 GJ; die Energiebilanzen der Vereinten Nationen rechneten bis zur Ausgabe 2020 mit 42,6216 GJ. Vor einem Vergleich ist deshalb zu klären, welche Festlegung eine Statistik nutzt, ebenso ob Erdgas mit dem Heizwert oder mit dem rund 10 % höheren Brennwert bewertet ist, der die Kondensationswärme des Wasserdampfs einschließt. Der Primärenergieverbrauch Deutschlands betrug 2025 nach vorläufigen Angaben der AG Energiebilanzen 10 530 PJ, also 359,3 Mio. t SKE oder rund 2925 TWh (1\unit{TWh}=3,6\unit{PJ}).

Datenblätter mischen Einheiten des Internationalen Einheitensystems (SI) mit anderen. Drücke stehen meist in bar (1\unit{bar}=100\unit{kPa}), oft als Überdruck gegenüber der Umgebung, gekennzeichnet als bar(ü) oder barg; der absolute Druck ist um den Luftdruck größer, auf Meereshöhe um rund 1 bar. Gasmengen werden in Normkubikmetern angegeben, also für den Normzustand 0 °C und 1013,25 mbar nach DIN 1343. Die Gasabrechnung rechnet das am Zähler gemessene Volumen mit der Zustandszahl auf den Normzustand um und multipliziert mit dem Brennwert in kWh/m³. In Unterlagen aus den USA stehen psi (pound-force per square inch, 1 psi = 6,895 kPa), BTU (British thermal unit, 1 BTU = 1,055 kJ) und Grad Fahrenheit, wobei eine Temperaturdifferenz von 1 °F 5/9 K entspricht.

Die Raumsonde Mars Climate Orbiter ging am 23. September 1999 beim Einschwenken in die Marsbahn durch einen Einheitenfehler verloren. Nach dem Untersuchungsbericht der NASA vom 10. November 1999 lieferte eine Bodensoftware die Impulse kleiner Steuermanöver in Pfund-Kraft-Sekunden (1 lbf·s = 4,448 N·s), die Bahnberechnung erwartete Newtonsekunden. Geplant war ein marsnächster Punkt in 226 km Höhe, spätere Auswertungen ergaben 57 km. In Tabellenkalkulationen und Programmen hilft es, die Einheit in Spaltenköpfe und Variablennamen zu schreiben (etwa P_kW) und an jeder Schnittstelle festzulegen, in welchen Einheiten Daten übergeben werden.

Die Dimensionsprobe lässt sich umkehren. Nach dem Π-Theorem von Edgar Buckingham (1914) lässt sich ein Zusammenhang zwischen n Größen, in denen r unabhängige Grunddimensionen vorkommen, als Beziehung zwischen n-r dimensionslosen Kennzahlen schreiben. Für die Leistung im Wind gilt P=f(\rho, D, v) mit dem Rotordurchmesser D: vier Größen, drei Dimensionen (L, M, T), also eine Kennzahl \Pi=P/(\rho D^2 v^3), die konstant sein muss. Daraus folgt P\propto\rho D^2 v^3 ohne jede Strömungsrechnung (Skalierungsgesetze in Station 6); den Zahlenfaktor liefert die Analyse nicht. Für die Leistung, die eine Anlage dem Wind entnimmt, kommt mit der Drehzahl des Rotors als fünfter Größe die Schnelllaufzahl als zweite Kennzahl dazu.

Modellversuche lassen sich auf das Original übertragen, wenn die maßgeblichen Kennzahlen übereinstimmen. In Strömungen ist das meist die Reynolds-Zahl \mathrm{Re}=vL/\nu mit der kinematischen Zähigkeit \nu, die bei 20 °C für Luft rund 1,5\cdot10^{-5}\unit{m^2/s} und für Wasser rund 1,0\cdot10^{-6}\unit{m^2/s} beträgt. Ein Pkw von 4,5 m Länge erreicht bei 30 m/s \mathrm{Re}\approx9\cdot10^{6}. Ein Modell im Maßstab 1:10 bräuchte in Luft 300 m/s, fast Schallgeschwindigkeit; dann stimmt die Mach-Zahl nicht mehr. Abhilfe schaffen Wasser, höherer Druck oder tiefe Temperatur. Der Europäische Transsonische Windkanal in Köln arbeitet mit Stickstoff bei bis zu 4,5 bar und bis hinab zu 110 K. In Rohren ist die Strömung unterhalb von etwa \mathrm{Re}=2000 laminar; als technischer Richtwert für den Umschlag gilt 2300, und die Schwelle, ab der Turbulenz bestehen bleibt, wurde 2011 zu 2040 bestimmt.

Seit dem 20. Mai 2019 ist jede SI-Einheit über sieben Konstanten mit festgelegten Zahlenwerten definiert, darunter die Lichtgeschwindigkeit c=299\,792\,458\unit{m/s}, das Plancksche Wirkungsquantum h=6,626\,070\,15\cdot10^{-34}\unit{J\,s}, die Elementarladung e, die Boltzmann-Konstante k und die Avogadro-Konstante N_\mathrm{A}. Das Kilogramm ist seitdem über h festgelegt; von 1889 bis 2019 war es die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. Größen der Dimension eins, etwa Winkel oder Wirkungsgrade, haben die Einheit eins, die selten ausgeschrieben wird; nach der SI-Broschüre schreibt man rad und sr aus, wo es angebracht ist, und Verhältnisse gleichartiger Größen dürfen Einheiten wie m/m oder mol/mol tragen. Logarithmische Größen wie Pegel in Dezibel behandelt Station 7.

Große und kleine Zahlen schreibt man mit Zehnerpotenzen. Ein Kraftwerksblock mit 465 MW leistet 465\,000\,000\unit{W}=4,65\cdot10^{8}\unit{W}. In der wissenschaftlichen Schreibweise steht vor der Zehnerpotenz eine Zahl zwischen 1 und 10, die Hochzahl gibt die Größenordnung an. Beim Multiplizieren werden die Hochzahlen addiert, beim Teilen subtrahiert: 10^{3}\cdot10^{6}=10^{9} und 10^{8}/10^{3}=10^{5}. Die Vorsätze kilo, mega und giga stehen für 10^{3}, 10^{6} und 10^{9} (Station 1).

Für einen Überschlag rundet man jede Zahl auf eine Stelle und rechnet mit Zehnerpotenzen weiter. Deutschland verbrauchte 2025 nach vorläufigen Zahlen 517 TWh Strom. Geteilt durch die 8760 Stunden des Jahres ergibt der Überschlag \frac{5\cdot10^{11}\unit{kWh}}{9\cdot10^{3}\unit{h}}\approx0,6\cdot10^{8}\unit{kW}=60\unit{GW}, genau sind es 59 GW. So groß ist der Stromverbrauch Deutschlands im Mittel über alle Stunden des Jahres.

Die Grafik ordnet Leistungen auf einer logarithmischen Leiter, auf der jede Stufe das Zehnfache der vorigen ist. Ein Laserpointer darf höchstens 1 mW abstrahlen, ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb ohne Anzeige höchstens 0,5 W aufnehmen. Ein Mensch setzt im Tagesmittel rund 110 W um, eine Haushaltssteckdose liefert bis 3,7 kW, ein Kraftwerksblock einige hundert Megawatt. Zwischen dem Laserpointer und dem mittleren Stromverbrauch Deutschlands liegen fast 14 Zehnerpotenzen.

Ebenso bei Energiemengen: Ein Kilogramm leichtes Heizöl enthält 42,8 MJ, knapp 12 kWh. Nach den Richtwerten der Deutschen Gesellschaft für Ernährung (DGE) brauchen Erwachsene von 25 bis 50 Jahren je nach Geschlecht und Bewegung 1800 bis 3000 kcal am Tag, also 2 bis 3,5 kWh. Solche Vergleichswerte zeigen sofort, wenn eine Rechnung um Zehnerpotenzen danebenliegt: Ergibt sie für einen Wasserkocher 2000 kW, ist ein Vorsatz falsch.

Eine Fermi-Abschätzung zerlegt eine unbekannte Größe in Faktoren, die man kennt oder wenigstens eingrenzen kann. Ein Beispiel ist der Strombedarf, wenn alle Pkw in Deutschland elektrisch führen. Er ist das Produkt aus Zahl der Fahrzeuge N, Fahrleistung je Fahrzeug s und Verbrauch je Kilometer e: E=N\cdot s\cdot e Am 1. Januar 2026 waren 49,5 Mio. Pkw zugelassen (Kraftfahrt-Bundesamt). Für die Fahrleistung nimmt die Abschätzung 12 000 km im Jahr an, für den Verbrauch einschließlich der Ladeverluste 20 kWh je 100 km. Das ergibt E\approx1,2\cdot10^{11}\unit{kWh}=120\unit{TWh} im Jahr, knapp ein Viertel des Bruttostromverbrauchs von 517 TWh im Jahr 2025 (vorläufige Zahl des Bundesverbands der Energie- und Wasserwirtschaft, BDEW; die AG Energiebilanzen nennt 519 TWh, mit der doppelt gezählten Pumpspeichererzeugung 526 TWh).

Kennt man für einen Faktor nur Unter- und Obergrenze a und b, ist bei weiten Spannen das geometrische Mittel \sqrt{a\,b} die bessere Schätzung als das arithmetische Mittel. Es liegt auf der logarithmischen Skala genau in der Mitte. Zwischen 1 kW und 100 kW ist das 10 kW, um den Faktor 10 von jeder Grenze entfernt; das arithmetische Mittel 50,5 kW liegt nur um den Faktor 2 unter der Obergrenze und um den Faktor 50 über der Untergrenze. Mehr zu Mittelwerten zeigt Station 4.

Jedes Ergebnis wird geprüft. Die Einheit muss stimmen (Station 1), und die Zahl muss zu bekannten Vergleichswerten passen. 120 TWh im Jahr entsprechen einer mittleren Leistung von 120\cdot10^{9}\unit{kWh}/8760\unit{h}\approx14\unit{GW}, etwa einem Viertel der mittleren Stromlast. Je Fahrzeug sind es 12\,000\unit{km}\cdot0,20\unit{kWh/km}=2400\unit{kWh} im Jahr, eine Zahl, die sich mit der Anzeige eines Elektroautos oder einer Ladeabrechnung vergleichen lässt. Ein unabhängiger zweiter Rechenweg, etwa über den heutigen Kraftstoffabsatz und die Wirkungsgrade der Antriebe, sollte auf einen Faktor zwei genau dasselbe ergeben.

Die Zahl der geltenden Ziffern richtet sich nach dem unsichersten Faktor. Sind Fahrleistung und Verbrauch auf etwa 25 % unsicher, gibt man das Ergebnis mit zwei Ziffern an: rund 120 TWh, nicht 118,8 TWh. In der Tabellenkalkulation rundet =RUNDEN(A1;2-1-GANZZAHL(LOG10(ABS(A1)))) auf zwei geltende Ziffern. Abschätzungen dienen der Größenordnung, der Plausibilitätsprüfung und dem Vergleich von Varianten, bevor genauer gerechnet wird.

Die Unsicherheit des Ergebnisses folgt aus der seiner Faktoren. Im Logarithmus wird aus dem Produkt eine Summe: \ln E=\ln N+\ln s+\ln e. Sind die Faktoren unabhängig und lognormalverteilt, addieren sich die Varianzen der Logarithmen. Beschreibt ×/÷ k_i den Bereich, in dem ein Faktor mit 90 % Wahrscheinlichkeit liegt, ist \sigma_i=\ln k_i/1,645, und für das Produkt gilt K=\exp\Big(\sqrt{\textstyle\sum_i(\ln k_i)^2}\Big) Der ungünstigste Fall \prod_i k_i ist größer, weil zu groß und zu klein geschätzte Faktoren einander teilweise ausgleichen. Mit ×/÷ 1,25 für Fahrleistung und Verbrauch und ×/÷ 1,02 für den Bestand ergibt sich K\approx1,37, also rund 87 bis 160 TWh statt 75 bis 190 TWh im ungünstigsten Fall.

Die Anteile (\ln k_i)^2/\sum_j(\ln k_j)^2 zeigen, welcher Faktor die Unsicherheit bestimmt. Der genau bekannte Fahrzeugbestand trägt weniger als 1 % bei; besser recherchieren lohnt sich nur bei Fahrleistung und Verbrauch. Eine Monte-Carlo-Simulation zieht viele Zufallswerte für jeden Faktor, multipliziert sie und liest die Quantile ab; sie braucht keine Lognormalannahme und verträgt beliebige Verteilungen (Station 3). Dass das Produkt vieler unabhängiger Faktoren näherungsweise lognormalverteilt ist, folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz für die Summe der Logarithmen (Station 20).

Skalenargumente ersetzen oft ganze Rechnungen: Weil die Leistung des Windes mit v^3 wächst, bringt eine um 10 % höhere Windgeschwindigkeit ein Drittel mehr Leistung im Wind (1,1^3\approx1,33); Potenzgesetze dieser Art behandelt Station 6.

Jede Messung hat eine Unsicherheit. Ein vollständiges Messergebnis besteht deshalb aus Messwert, Unsicherheit und Einheit, etwa U=(230,4\pm1,4)\unit{V}. Die Angabe bedeutet, dass der Wert der Spannung mit hoher Wahrscheinlichkeit zwischen 229,0 V und 231,8 V liegt. Die Unsicherheit hat dieselbe Einheit wie der Messwert. Ihr Anteil am Messwert ist die relative Unsicherheit, hier 1,4\unit{V}/230,4\unit{V}\approx0,6\,\%.

Abweichungen haben zwei Arten von Ursachen. Zufällige Abweichungen ändern sich von Messung zu Messung, etwa durch Rauschen, Schwankungen oder Ablesen; sie werden kleiner, wenn man mehrfach misst und den Mittelwert bildet. Systematische Abweichungen sind bei jeder Wiederholung gleich, etwa bei einem falsch kalibrierten Gerät oder einer Waage, die nicht auf null steht. Mitteln hilft dagegen nicht; sie fallen nur beim Vergleich mit einem genaueren Gerät auf. Messwerte, die eng beieinanderliegen, sind präzise; liegen sie im Mittel am richtigen Wert, ist die Messung richtig. Genau ist sie erst, wenn beides zutrifft.

Wird mit unsicheren Werten gerechnet, überträgt sich die Unsicherheit auf das Ergebnis. Beim Addieren und Subtrahieren zählen die absoluten Unsicherheiten, beim Multiplizieren und Dividieren die relativen. Sie werden quadratisch addiert, weil sich unabhängige zufällige Abweichungen teilweise ausgleichen: Relative Unsicherheiten von 3 % und 4 % ergeben zusammen \sqrt{3^2+4^2}\,\%=5\,\%, nicht 7 %. Die Grafik zeigt das mit vielen simulierten Messungen: Spannung und Strom streuen, und das Histogramm zeigt, wie stark die daraus berechnete Leistung streut.

Die Unsicherheit gibt man mit ein oder zwei geltenden Ziffern an und rundet den Messwert auf dieselbe Stelle. Ergibt die Rechnung 1002,24 W mit einer Unsicherheit von 14,1 W, lautet das Ergebnis P=(1002\pm14)\unit{W}. Mehr Stellen täuschen eine Genauigkeit vor, die die Messung nicht hat.

Der international verwendete Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen, kurz GUM (JCGM 100:2008), beschreibt jede Eingangsgröße durch einen Schätzwert und eine Standardunsicherheit u, die Standardabweichung ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bei der Ermittlung nach Typ A stammt sie aus n Wiederholungsmessungen: Mit dem Mittelwert \bar x und der Standardabweichung s der Einzelwerte ist u(\bar x)=s/\sqrt n (Station 21). Bei der Ermittlung nach Typ B stammt sie aus anderen Angaben wie Datenblatt, Kalibrierschein oder Auflösung der Anzeige. Ist nur bekannt, dass der Wert innerhalb \pm a liegt, wird eine Rechteckverteilung angenommen, und es gilt u=a/\sqrt3\approx0,58\,a.

Hängt das Ergebnis y=f(x_1, \dots, x_N) von unabhängigen Eingangsgrößen ab, ist die kombinierte Standardunsicherheit u_\mathrm{c}(y)=\sqrt{\sum_{i}\Big(\frac{\partial f}{\partial x_i}\,u(x_i)\Big)^2} Die partiellen Ableitungen heißen Empfindlichkeitskoeffizienten (Station 9). Für Summen und Differenzen y=x_1\pm x_2 folgt u^2(y)=u^2(x_1)+u^2(x_2), für Produkte und Quotienten y=x_1x_2 oder y=x_1/x_2 die gleiche Regel für relative Unsicherheiten: \Big(\frac{u(y)}{y}\Big)^2=\Big(\frac{u(x_1)}{x_1}\Big)^2+\Big(\frac{u(x_2)}{x_2}\Big)^2 Bei einer Potenz x^n geht die relative Unsicherheit mit dem Faktor |n| ein.

Die erweiterte Unsicherheit U=k\,u_\mathrm{c} mit dem Erweiterungsfaktor k=2 ergibt bei normalverteiltem Ergebnis ein Intervall, das rund 95 % der möglichen Werte umfasst (genau 95,45 %). Man schreibt y\pm U und nennt k. Für die Standardunsicherheit genügen nach der Monte-Carlo-Ergänzung des GUM (JCGM 101:2008) meist ein oder zwei geltende Ziffern.

Messgeräte geben ihre Fehlergrenzen oft in der Form ± (0,5 % vom Messwert + 2 Digits) an. Ein Digit ist eine Einheit der letzten Stelle der Anzeige. Zeigt ein Multimeter mit der Auflösung 0,1 V den Wert 230,4 V, ist die Fehlergrenze a=0,005\cdot230,4\unit{V}+2\cdot0,1\unit{V}=1,35\unit{V} und als Rechteckverteilung u=1,35\unit{V}/\sqrt3=0,78\unit{V}. Am unteren Ende eines Messbereichs überwiegt der Digit-Anteil, die relative Unsicherheit steigt. In der Tabellenkalkulation rechnet man je Eingangsgröße eine Zeile mit Wert, Standardunsicherheit und Empfindlichkeit und bildet zum Schluss =WURZEL(QUADRATESUMME(…)).

Der Wirkungsgrad \eta=P_\mathrm{ab}/P_\mathrm{zu} eines Antriebs folgt aus zwei Leistungsmessungen. Mit P_\mathrm{zu}=10,00\unit{kW}, P_\mathrm{ab}=9,20\unit{kW} und je 0,5 % relativer Standardunsicherheit ist u(\eta)/\eta=\sqrt{0,5^2+0,5^2}\,\%=0,71\,\%, also \eta=(92,0\pm1,3)\,\% mit k=2. Die Unsicherheit eines Prozentwerts gibt man in Prozentpunkten an: 1,3 Prozentpunkte, das sind 1,4 % des Werts.

Sind Eingangsgrößen korreliert, etwa weil beide Leistungen mit demselben Messgerät und damit demselben Kalibrierfehler gemessen werden, kommt nach GUM-Abschnitt 5.2 für jedes Paar ein Kovarianzglied hinzu: u_\mathrm{c}^2=\sum_i c_i^2u_i^2+2\sum_{i\lt j}c_ic_j\,r_{ij}\,u_iu_j mit c_i=\partial f/\partial x_i und dem Korrelationskoeffizienten r_{ij}. Für den Quotienten \eta wird daraus (u_\eta/\eta)^2=w_1^2+w_2^2-2r\,w_1w_2 mit den relativen Unsicherheiten w_i: Ein gemeinsamer Kalibrierfehler kürzt sich im Verhältnis heraus. Für ein Produkt steht +2r, dort vergrößert die Korrelation die Unsicherheit.

Die Formel ist eine Linearisierung, die Taylor-Entwicklung erster Ordnung des Modells um die Schätzwerte (Station 11). Sie wird ungenau, wenn relative Unsicherheiten groß sind oder das Modell stark gekrümmt ist. Ein Quotient wird dann schief verteilt, und sein Erwartungswert verschiebt sich: Für y=1/x mit 20 % relativer Unsicherheit liegt \E[y] um etwa 4 % über 1/\E[x]. Die Monte-Carlo-Methode nach JCGM 101:2008 zieht Werte aus den Verteilungen der Eingangsgrößen, wertet das Modell aus und liest Mittelwert, Standardabweichung und Quantile ab. Sie braucht keine Linearisierung, aber genügend viele Ziehungen.

Bei Differenzen fast gleicher Größen tritt Auslöschung auf. Die Verluste P_\mathrm{V}=P_\mathrm{zu}-P_\mathrm{ab}=0,80\unit{kW} haben die Unsicherheit \sqrt{0,050^2+0,046^2}\unit{kW}=0,068\unit{kW}, relativ 8,5 %, 17-mal so viel wie die relative Unsicherheit jeder der beiden Leistungen. Misst man die Verluste direkt, etwa über die abgegebene Wärme, und rechnet \eta=1-P_\mathrm{V}/P_\mathrm{zu}, genügt eine Verlustmessung auf 5 %: Die Unsicherheit von \eta sinkt von 0,65 auf 0,40 Prozentpunkte. Je höher der Wirkungsgrad, desto größer dieser Vorteil.

Prozent heißt Hundertstel: 7 % sind 0,07. Jede Prozentangabe bezieht sich auf einen Grundwert, und es gilt Prozentwert gleich Prozentsatz mal Grundwert. Ein Elektromotor, der 2 kW elektrische Leistung aufnimmt und 1,8 kW an der Welle abgibt, hat den Wirkungsgrad \eta=1,8\unit{kW}/2\unit{kW}=0,9=90\,\%. Der Grundwert ist hier die aufgenommene Leistung; der griechische Buchstabe \eta (eta) ist das übliche Formelzeichen.

Den Unterschied zweier Prozentsätze gibt man in Prozentpunkten an. Steigt der Anteil erneuerbarer Energien an einem Stromverbrauch von 40 % auf 50 %, sind das 10 Prozentpunkte mehr; bezogen auf den alten Anteil ist es ein Zuwachs um 25 %. Steigt ein Zinssatz von 2 % auf 3 %, ist das ein Prozentpunkt und zugleich eine Erhöhung um 50 %. Wer nur „um 10 %“ schreibt, lässt offen, welche der beiden Angaben gemeint ist.

Mehrere Änderungen nacheinander werden multipliziert. Steigt ein Preis um 50 % und sinkt danach um 50 %, bleiben 1,5\cdot0,5=0,75, also 75 % des Ausgangswerts. Genauso rechnet man eine Wirkungsgradkette: Jede Stufe gibt nur ihren Anteil der Energie weiter. Beim Elektroauto kommen von 100 kWh Strom nach Übertragung (95 %), Laden (90 %), Elektromotor (85 %) und Getriebe (95 %) noch 100\unit{kWh}\cdot0,95\cdot0,90\cdot0,85\cdot0,95\approx69\unit{kWh} an den Rädern an. Wer die Verluste von 5, 10, 15 und 5 % addiert, kommt auf 35 % Verlust statt 31 %. Ein E-Fuel ist ein Kraftstoff, der mit Strom hergestellt wird; seine Kette hat mehr Stufen und deshalb ein kleineres Produkt.

Das arithmetische Mittel, die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl, passt, wenn jeder Wert gleich viel zählt. Bei Verhältnissen wie Geschwindigkeit, Wirkungsgrad oder Preis je Liter ist das oft nicht so. Fährt man eine Strecke hin mit 60 km/h und zurück mit 40 km/h, beträgt der Durchschnitt 48 km/h: Für den langsamen Rückweg braucht man länger, er zählt deshalb stärker. Sicher ist der Weg über die Summen, also Gesamtweg durch Gesamtzeit. Die zweite Ansicht der Grafik zeigt das.

Eine Wirkungsgradkette ist ein Produkt, \eta=\eta_1\,\eta_2\cdots\eta_n. Nach Agora Verkehrswende, Agora Energiewende und Frontier Economics (2018) kommen von erneuerbarem Strom beim Batterie-Elektroauto 69 % an den Rädern an, beim Brennstoffzellenauto 26 % und beim Verbrenner mit E-Fuel 13 %; mit den Spannen weiterer Quellen sind es 55–73 %, 22–28 % und 12–15 % (Grafik, jeweils das Produkt der Stufen). Der Kehrwert 1/\eta ist der Strombedarf je Kilowattstunde an den Rädern: 1,45 kWh, 3,9 kWh und 7,9 kWh.

Zählen Werte unterschiedlich viel, nimmt man das gewichtete Mittel \bar x=\sum w_i x_i/\sum w_i mit den Gewichten w_i. Wer 40 Liter zu 1,80 €/l und 20 Liter zu 1,50 €/l tankt, hat im Mittel (72 € + 30 €)/60 l = 1,70 €/l bezahlt, nicht 1,65 €/l. Für Verhältnisse heißt die Regel: Zähler und Nenner getrennt summieren, dann teilen. Bei Geschwindigkeiten über gleich lange Strecken führt das auf das harmonische Mittel H=\frac{n}{1/x_1+\dots+1/x_n} mit 60 und 40 km/h also H=2/(1/60+1/40)\unit{km/h}=48\unit{km/h}. Beim Kraftstoff ebenso: 100 km mit 20 km/l und 100 km mit 10 km/l verbrauchen 15 l, im Mittel 13,3 km/l. In Litern je 100 km genügt das arithmetische Mittel, 7,5 l/100 km, weil dort die Strecke im Nenner steht.

Eine Wärmepumpe liefert mit einer Kilowattstunde Strom mehrere Kilowattstunden Wärme. Das Verhältnis in einem Betriebspunkt heißt Leistungszahl (COP), das über einen Zeitraum Arbeitszahl, das über ein Jahr Jahresarbeitszahl \beta=\frac{\sum Q_i}{\sum W_i} mit der Wärme Q_i und dem Strom W_i der Zeitabschnitte. Sie ist das wärmegewichtete harmonische Mittel der Arbeitszahlen Q_i/W_i der Abschnitte und liegt meist unter deren arithmetischem Mittel, weil im Winter viel Wärme bei schlechter Leistungszahl entsteht. Im Feldtest „WPsmart im Bestand“ des Fraunhofer ISE (Juli 2018 bis Juni 2019) erreichten Außenluft-Wärmepumpen 2,5 bis 3,8 (Mittel 3,1), Erdreich-Wärmepumpen 3,3 bis 4,7 (Mittel 4,1). Ebenso unterscheiden sich Wirkungsgrad (Augenblickswert) und Nutzungsgrad (Energie über einen Zeitraum).

Für Wachstumsraten ist das geometrische Mittel der Faktoren richtig, G=\sqrt[n]{q_1\,q_2\cdots q_n}. Steigt eine Größe in einem Jahr um 20 % und fällt im nächsten um 10 %, ist der mittlere Faktor \sqrt{1,2\cdot0,9}\approx1,039, also +3,9 % pro Jahr und nicht +5 %; zweimal angewendet ergibt er den tatsächlichen Gesamtfaktor 1,08. Zinseszins folgt derselben Rechnung (Station 23).

Bei Angaben „gegenüber 1990“ ist der Wert von 1990 der Grundwert. Das Umweltbundesamt (UBA) bilanziert für Deutschland 1 253 Mio. t CO₂-Äquivalente im Jahr 1990 und vorläufig 649 Mio. t im Jahr 2025, 48,2 % weniger. Das Bundes-Klimaschutzgesetz (KSG) verlangt bis 2030 mindestens 65 % (§ 3 Abs. 1 KSG). Es fehlen 16,8 Prozentpunkte, bezogen auf 2025 aber 32 %: von 649 auf höchstens 439 Mio. t. Ein Basiseffekt entsteht bei einem ungewöhnlichen Vergleichswert: Nach dem Rückgang um 8,4 % im Jahr 2020 stiegen die Emissionen 2021 um 4,4 % und lagen trotzdem gut 4 % unter 2019, denn 0,916\cdot1,044\approx0,956 (UBA-Zeitreihe, Stand 02.07.2026).

Für positive Zahlen gilt die Ungleichung der Mittelwerte H\le G\le A, mit Gleichheit nur, wenn alle Werte gleich sind. Für zwei Zahlen a und b folgt sie aus A-G=\tfrac12\big(\sqrt a-\sqrt b\big)^2\ge0 und G^2=A\,H. Sie ist ein Sonderfall der Jensen-Ungleichung: Für eine konvexe Funktion f ist f(\bar x)\le\overline{f(x)}. Die Windleistung wächst mit v^3, einer konvexen Funktion; wer die mittlere Leistung mit der mittleren Windgeschwindigkeit berechnet, unterschätzt sie. Sind die Windgeschwindigkeiten Rayleigh-verteilt (Weibull-Verteilung mit dem Formparameter 2, Station 20), gilt \overline{v^3}=\tfrac6\pi\,\bar v^{\,3}\approx1,91\,\bar v^{\,3} (Station 6).

Mittel der Verhältnisse und Verhältnis der Mittel unterscheiden sich, sobald die Nenner verschieden groß sind. Fasst man Gruppen unterschiedlicher Zusammensetzung zusammen, kann sich ein Vergleich sogar umkehren (Simpson-Paradoxon). In einer Studie zur Entfernung von Nierensteinen (Charig u. a. 1986) war die offene Operation bei kleinen Steinen (93 % gegenüber 87 % Erfolg) und bei großen Steinen (73 % gegenüber 69 %) erfolgreicher als die perkutane Nephrolithotomie, über alle Fälle aber schlechter (78 % gegenüber 83 %). Sie war überwiegend bei den schwierigeren großen Steinen eingesetzt worden. Eine Gesamtquote ist das mit den Gruppenanteilen gewichtete Mittel der Gruppenquoten.

Für Wachstum über viele Perioden sind logarithmische Renditen r_i=\ln(x_i/x_{i-1}) praktisch: Sie addieren sich über die Zeit, und ihr arithmetisches Mittel ist der Logarithmus des geometrischen Mittels der Faktoren. Einfache Renditen täuschen: Ein Kurs, der von 100 auf 150 steigt und auf 100 zurückfällt, hat die Renditen +50 % und −33,3 % mit dem Mittel +8,3 %; die logarithmischen Renditen \pm0,405 mitteln sich zu null. Nach der Jensen-Ungleichung für den konkaven Logarithmus liegt das Mittel der logarithmischen Renditen nie über dem Logarithmus des arithmetischen Mittels der Faktoren.

Ein lineares Modell beschreibt einen Zusammenhang durch eine Gerade, y=m\cdot x+b. Die Steigung m gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um eine Einheit wächst. Sie hat deshalb eine Einheit: Ohm je Kelvin (Ω/K) bei einem Temperaturfühler, Euro je Kilowattstunde bei einem Stromtarif. Der Achsenabschnitt b ist der Wert bei x=0.

Durch zwei Punkte (x_1 \mid y_1) und (x_2 \mid y_2) geht genau eine Gerade. Ihre Steigung ist m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1), und es gilt y=y_1+m\,(x-x_1). Ein Stromtarif mit 12 € Grundpreis im Monat und 32 ct je Kilowattstunde ist ein lineares Modell (Modellzahlen): Jahreskosten = 144 € + 0,32 €/kWh · Verbrauch, bei 3 000 kWh also 1 104 €. Der Durchschnittspreis, Kosten durch Verbrauch, ist dagegen keine Gerade: Er sinkt mit dem Verbrauch, weil sich der Grundpreis auf mehr Kilowattstunden verteilt.

Tabellen nennen Werte nur an einzelnen Stellen, den Stützstellen. Für einen Zwischenwert verbindet man die beiden benachbarten Tabellenwerte durch eine Gerade und liest an der gesuchten Stelle ab. Das heißt lineare Interpolation. Ist die Kurve gekrümmt, liegt die Gerade etwas daneben. Der Fehler ist in der Mitte zwischen zwei Stützstellen am größten und schrumpft schnell, wenn die Tabelle feiner wird: Bei halbem Abstand sinkt er auf etwa ein Viertel.

Über den letzten Tabellenwert hinaus zu rechnen heißt Extrapolation. Sie ist unsicher, weil die Tabelle nichts darüber sagt, wie die Kurve außerhalb weiterläuft. Beim Dampfdruck von Wasser liefert die Gerade durch die Werte bei 80 °C und 100 °C für 150 °C nur 236 kPa (Kilopascal); tatsächlich sind es 476 kPa. Die Grafik zeigt beide Fälle für einen Temperaturfühler und für den Dampfdruck.

Das Platin-Widerstandsthermometer Pt100 hat bei 0 °C den Widerstand R_0=100\unit{\Omega}. Seine Kennlinie legt die Norm IEC 60751 der Internationalen Elektrotechnischen Kommission fest (in Deutschland DIN EN IEC 60751); für 0\le t\le850 °C gilt die Callendar-Van-Dusen-Gleichung R(t)=R_0\,(1+A\,t+B\,t^2) mit A=3,9083\cdot10^{-3} °C⁻¹ und B=-5,775\cdot10^{-7} °C⁻²; unter 0 °C kommt ein weiteres Glied hinzu. Zwischen 0 und 100 °C ist sie fast linear. Die mittlere Steigung, als Temperaturbeiwert \alpha=(R_{100}-R_0)/(100\,\mathrm{K}\cdot R_0)=3,851\cdot10^{-3} K⁻¹ angegeben, kennzeichnet den Fühlertyp. Die Gerade R\approx R_0\,(1+\alpha t) weicht bei 50 °C um 0,14 Ω ab. Das sind 0,37 K, mehr als die Grenzabweichung der Genauigkeitsklasse A von ±(0,15 + 0,002·|t|) K, bei 50 °C also ±0,25 K.

Ein Messgerät mit linearer Kennlinie hat typischerweise einen Nullpunktfehler (Offset) und einen Steigungsfehler. Beide beseitigt eine Zwei-Punkt-Kalibrierung: Man liest die Anzeigen r_1 und r_2 bei zwei bekannten Temperaturen t_1 und t_2 ab, etwa im Eisbad und am Vergleichsthermometer, und rechnet jede spätere Anzeige r mit der Geraden durch die beiden Punkte um: t=t_1+(t_2-t_1)\,\frac{r-r_1}{r_2-r_1} Eine Krümmung der Kennlinie bleibt dabei erhalten; zwischen den Kalibrierpunkten ist ihr Einfluss klein, außerhalb wächst er (Vertiefung unten).

In Stoffwert- und Dampftafeln interpoliert man zwischen den Zeilen. Der Fehler hängt von der Krümmung ab: Der Dampfdruck von Wasser beträgt nach der Industrie-Formulierung IAPWS-IF97 7,384 kPa bei 40 °C und 12,351 kPa bei 50 °C; interpoliert ergibt sich für 45 °C 9,868 kPa statt 9,594 kPa, also 2,9 % zu viel. Weil die Kurve nach oben gekrümmt ist, liegt die Sehne immer darüber.

Programme helfen, verhalten sich aber unterschiedlich. In Python liefert numpy.interp stückweise lineare Interpolation und hält außerhalb der Tabelle den Randwert fest, statt zu extrapolieren. Die Funktion PROGNOSE.LINEAR in Excel legt eine Ausgleichsgerade durch alle Punkte (Station 22) und interpoliert nicht zwischen den Nachbarn. Stückweise lineare Kennlinien und Kennfelder stecken auch in Steuergeräten und Simulationsprogrammen. Außerhalb der Stützstellen ist jedes Modell eine Annahme: Die Gerade durch die Pt100-Werte bei 300 und 400 °C macht aus einem gemessenen Widerstand von 313,7 Ω (600 °C) eine Temperatur von 590 °C. Wie man eine Kurve in einem Arbeitspunkt durch ihre Tangente ersetzt, zeigt Station 11.

Ist f zweimal stetig differenzierbar, gilt zwischen zwei Stützstellen x_i und x_{i+1} im Abstand h f(x)-p(x)=\tfrac12 f''(\xi)\,(x-x_i)(x-x_{i+1}) mit einer Zwischenstelle \xi. Das Produkt ist in der Intervallmitte mit h^2/4 am größten, also |f-p|\le\frac{h^2}{8}\max|f''|. Für den Pt100 ist f''=2BR_0=-1,155\cdot10^{-4} Ω/K² konstant; bei h=100 K beträgt der Fehler höchstens 10^4/8\cdot1,155\cdot10^{-4}\,\Omega\approx0,144\,\Omega. Umgekehrt ergibt sich der nötige Tabellenabstand für eine Fehlergrenze \varepsilon als h\le\sqrt{8\varepsilon/\max|f''|}.

Durch n+1 Stützstellen geht genau ein Polynom vom Grad höchstens n, in Lagrange-Form p(x)=\sum_i y_i\,L_i(x) mit L_i(x)=\prod_{j\ne i}(x-x_j)/(x_i-x_j). Mehr Stützstellen machen es nicht von selbst genauer: Für f(x)=1/(1+25x^2) auf [-1, 1] wächst der Fehler bei gleichabständigen Stützstellen zu den Rändern hin mit dem Grad (Runge-Phänomen); mit 15 Stützstellen erreicht er etwa 7. Abhilfe schaffen Stützstellen, die sich zu den Rändern hin verdichten, oder stückweise Polynome.

Ein kubischer Spline setzt die Kurve aus Polynomen dritten Grades zusammen, die an den Stützstellen mit Wert, Steigung und Krümmung stetig ineinander übergehen. Die Koeffizienten folgen aus einem tridiagonalen Gleichungssystem (Station 15); bei glatten Funktionen sinkt der Fehler mit h^4, wenn die Randbedingungen passen. Der natürliche Spline der Grafik setzt am Rand die Krümmung null; ist die Kurve dort gekrümmt, sinkt sein Fehler nur mit h^2. Kennfelder mit zwei Eingangsgrößen, etwa die Leistungszahl einer Wärmepumpe über Quellen- und Vorlauftemperatur, interpoliert man bilinear: erst in einer Richtung, dann in der anderen (Vertiefung unten).

Ein Potenzgesetz hat die Form y=a\cdot x^n mit einem Faktor a und einem Exponenten n. Sein Kennzeichen: Wird x mit einem Faktor k multipliziert, multipliziert sich y mit k^n, gleich wo man startet. Bei n=2 bringt doppeltes x das Vierfache, bei n=3 das Achtfache, bei n=-1 die Hälfte.

Die Geometrie liefert die einfachsten Beispiele. Verdoppelt man alle Längen eines Körpers, wächst jede Fläche auf das Vierfache (2^2) und das Volumen auf das Achtfache (2^3). Die Oberfläche je Volumen halbiert sich dabei. Deshalb verliert ein großer Wärmespeicher je Kubikmeter weniger Wärme als ein kleiner, und kleine Tiere kühlen schneller aus als große.

Durch die Rotorfläche A einer Windenergieanlage strömt die Leistung P=\tfrac12\,\rho\,A\,v^3 mit der Luftdichte \rho (rund 1,2 kg/m³) und der Windgeschwindigkeit v. Die Anlage nutzt davon den Anteil c_P, den Leistungsbeiwert; mehr als 16/27, also 59 %, ist nach der Betz-Grenze nicht möglich. Die Rotorfläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers. Doppelter Durchmesser bringt deshalb die vierfache Leistung, doppelte Windgeschwindigkeit die achtfache.

Der Luftwiderstand eines Fahrzeugs wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, F=\tfrac12\,\rho\,c_w\,A\,v^2 mit dem Widerstandsbeiwert c_w und der Stirnfläche A. Die dafür nötige Leistung P=F\cdot v wächst mit der dritten Potenz. Für den Verbrauch je Kilometer zählt die Kraft: Bei 130 km/h braucht ein Auto für den Luftwiderstand (130/100)^2\approx1,7-mal so viel Energie je Kilometer wie bei 100 km/h.

Logarithmiert man y=a\,x^n, entsteht \lg y=\lg a+n\,\lg x, eine Gerade mit der Steigung n. Im doppelt logarithmischen Diagramm erscheinen Potenzgesetze deshalb als Geraden, auch über viele Zehnerpotenzen. Aus zwei Punkten folgt der Exponent n=\frac{\lg(y_2/y_1)}{\lg(x_2/x_1)} Nach dem Datenblatt der Enercon E-138 EP3 E2 (Rotordurchmesser 138,25 m) leistet die Anlage bei 5 m/s 541 kW und bei 8 m/s 2 086 kW, also n=\lg3,856/\lg1,6\approx2,87. Tabellenkalkulationen rechnen diesen Ausgleich mit der Trendlinie „Potenz“; in Programmen legt man eine Gerade durch (\ln x, \ln y) (Station 22).

Für Kreiselpumpen und Ventilatoren gelten bei ähnlichen Betriebspunkten die Affinitätsgesetze: Volumenstrom \dot V\sim N, Druckerhöhung \Delta p\sim N^2 und Leistung P\sim N^3 mit der Drehzahl N. Ein Lüfter mit 80 % Drehzahl braucht danach nur 0,8^3\approx51\,\% der Leistung. In Anlagen mit großem statischem Anteil, etwa einer Förderhöhe, die auch bei kleinem Durchfluss überwunden werden muss, gilt das nicht, und die Einsparung durch Drehzahlregelung ist kleiner (US-Energieministerium 2006; Vertiefung unten).

Auch Kosten folgen oft Potenzgesetzen. Für Apparate und Anlagen gilt als Faustregel der Kostendegression K_2=K_1\,(S_2/S_1)^{0,6} mit der Kapazität S, die Sechs-Zehntel-Regel. Doppelte Kapazität kostet dann das 2^{0,6}\approx1,52-fache, die Kosten je Kapazitätseinheit sinken um 24 %. Ein Grund: Material und Fertigung wachsen eher mit der Oberfläche, also mit V^{2/3}, als mit dem Volumen. Für einzelne Apparatetypen weichen die Exponenten deutlich ab; 0,6 ist der Wert für den Fall, dass keine besseren Daten vorliegen (Peters, Timmerhaus, West 2003).

Lernkurven beschreiben, wie Preise mit der kumulierten Produktion Q fallen: p=p_0\,(Q/Q_0)^{-b}. Bei jeder Verdopplung sinkt der Preis um die Lernrate \mathrm{LR}=1-2^{-b}. Für Photovoltaikmodule nennt die International Technology Roadmap for Photovoltaic (ITRPV, 2026) 26,0 % für 1976 bis 2025, der Photovoltaics Report des Fraunhofer ISE (2026) 26,6 % über 45 Jahre; die Werte beruhen auf unterschiedlichen Preisreihen. 26 % entsprechen b=-\log_2 0,74\approx0,43. Ende 2025 waren nach ITRPV 3 178 GWp Module ausgeliefert (Wattpeak), zu einem mittleren Preis von 0,09 US-Dollar je Wp.

Potenzgesetze folgen oft aus der Dimensionsanalyse (Station 1). Für geometrisch ähnliche Strömungsmaschinen mit dem Laufraddurchmesser D sind die Kennzahlen \varphi=\dot V/(N D^3), \psi=\Delta p/(\rho N^2 D^2) und \lambda=P/(\rho N^3 D^5) im selben Betriebspunkt gleich. Daraus folgen die Affinitätsgesetze und die Skalierung mit der Baugröße, P\sim N^3D^5. Sie gelten, solange Reibungseinflüsse und damit die Reynolds-Zahl keine Rolle spielen; bei kleinen Maschinen und Drehzahlen weichen Messungen davon ab.

In der Biologie heißen solche Gesetze Allometrie. Kleiber (1932) fand für den Grundumsatz von Säugetieren P\sim M^{3/4} mit der Körpermasse M. White und Seymour (2003) kamen mit 619 Arten, korrigiert um Körpertemperatur und Verwandtschaft, auf M^{2/3}, wie es eine Oberflächenbeziehung erwarten ließe. Der Exponent hängt also von Datenauswahl und Methode ab. Für Vorhersagen weit außerhalb der Daten ist das entscheidend: Beim 200 000-fachen Gewicht unterscheiden sich M^{3/4} und M^{2/3} um den Faktor 2,8.

Den Exponenten schätzt man meist mit einer Ausgleichsgeraden durch (\ln x_i, \ln y_i). Sie gewichtet relative Abweichungen, und zurückgerechnet liefert sie den Median von y. Sind die Residuen im log-Raum normalverteilt mit der Standardabweichung \sigma, liegt der Mittelwert um den Faktor \ee^{\sigma^2/2} höher. Potenzgesetze treten auch als Verteilungen auf, P(X\gt x)\sim x^{-\alpha} (Pareto-Verteilung). Bei \alpha\le1 gibt es keinen endlichen Mittelwert, bei \alpha\le2 keine endliche Varianz; solche Ränder schätzt man besser mit der Maximum-Likelihood-Methode als mit einer Geraden durch ein Histogramm.

Bei einem exponentiellen Vorgang ändert sich eine Größe in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Faktor; bei linearem Wachstum käme in jedem Abschnitt der gleiche Betrag hinzu. Eine Bakterienkultur, die sich alle 20 Minuten verdoppelt, wächst in einer Stunde auf das Achtfache (2\cdot2\cdot2=8) und in drei Stunden auf das 512-Fache. Umgekehrt halbiert sich die Spannung eines Kondensators, der sich über einen Widerstand entlädt, in gleichen Zeitabständen immer wieder. Diese Zeitspanne heißt Halbwertszeit T_{1/2}.

Als Formel: Von einer Anfangsmenge N_0 ist nach der Zeit t noch N(t)=N_0\cdot\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}} übrig. Der Exponent t/T_{1/2} zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Iod-131, das in der Nuklearmedizin zur Behandlung der Schilddrüse eingesetzt wird, hat eine Halbwertszeit von 8,02 Tagen. Nach 24 Tagen ist noch ein Achtel übrig, nach 80 Tagen, also rund zehn Halbwertszeiten, etwa ein Tausendstel, denn 2^{10}=1024. Null wird die Menge dabei nie ganz. Für Wachstum steht die Verdopplungszeit T_2 im Exponenten: N(t)=N_0\cdot 2^{t/T_2}.

Der Logarithmus beantwortet die umgekehrte Frage, wie oft man verdoppeln muss, um auf das 1000-Fache zu kommen: \log_2 1000\approx 9,97, also knapp zehnmal. Am häufigsten ist der Zehnerlogarithmus \lg: \lg 1000=3, weil 10^3=1000. Aus Malnehmen wird dabei Addieren, \lg(a\cdot b)=\lg a+\lg b. Auf einer logarithmischen Achse ist deshalb jeder Faktor 10 gleich lang, und eine exponentielle Abnahme erscheint als gerade Linie.

Darauf beruhen die Angaben in Dezibel (dB). Ein Leistungsverhältnis P_2/P_1 wird als 10\cdot\lg(P_2/P_1) in dB angegeben: Der Faktor 10 entspricht 10 dB, der Faktor 100 entspricht 20 dB, eine Verdopplung rund 3 dB und eine Halbierung −3 dB. Schaltet man Verstärker und Dämpfungen hintereinander, multiplizieren sich die Faktoren, und die dB-Werte werden einfach addiert. Zwei gleich laute Maschinen geben zusammen die doppelte Schallleistung ab; der Pegel steigt um 3 dB.

In Technik und Naturwissenschaft schreibt man exponentielle Vorgänge meist mit der Eulerschen Zahl \ee\approx 2,718 und der Zeitkonstante \tau: y(t)=y_0\,\ee^{-t/\tau} Nach t=\tau ist noch \ee^{-1}=36,8\,\% des Anfangswerts übrig, 63,2 % der Änderung sind abgelaufen; nach 3\tau sind es 95,0 %, nach 5\tau 99,3 %. Deshalb gilt ein Ausgleichsvorgang nach etwa fünf Zeitkonstanten als abgeschlossen. Halbwertszeit und Zeitkonstante hängen über T_{1/2}=\tau\ln 2\approx 0,693\,\tau zusammen. Jede andere Basis lässt sich umrechnen: a^x=\ee^{x\ln a}. Zinseszins ist ebenfalls exponentielles Wachstum, mit dem Faktor 1+i je Jahr (Station 23).

Drei Standardfälle: Ein Kondensator der Kapazität C entlädt sich über den Widerstand R nach u_\mathrm{C}(t)=U_0\,\ee^{-t/(RC)}, also mit \tau=R\,C (Ohm mal Farad ergibt Sekunden). Ein Körper kühlt nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz ab, T(t)=T_\mathrm{U}+(T_0-T_\mathrm{U})\,\ee^{-t/\tau}; exponentiell fällt dabei die Differenz zur Umgebungstemperatur T_\mathrm{U}. Beim radioaktiven Zerfall gilt N(t)=N_0\,\ee^{-\lambda t} mit der Zerfallskonstante \lambda=\ln 2/T_{1/2}; für Iod-131 sind das 0,0864 je Tag. Alle drei Fälle folgen aus der Differentialgleichung y'=-y/\tau (Station 12). Die Zeit bis zu einer Schwelle y_\mathrm{S} ergibt sich durch Logarithmieren: t_\mathrm{S}=\tau\,\ln\frac{y_0}{y_\mathrm{S}}

Rechenregeln: \ln(a\,b)=\ln a+\ln b, \ln(a/b)=\ln a-\ln b, \ln a^r=r\ln a, Basiswechsel \log_b x=\ln x/\ln b, also \lg x=\ln x/\ln 10\approx 0,434\,\ln x. Logarithmiert man y=y_0\,\ee^{-t/\tau}, entsteht die Gerade \ln y=\ln y_0-t/\tau. Im halblogarithmischen Diagramm liegen die Messwerte eines exponentiellen Vorgangs deshalb auf einer Geraden mit der Steigung -1/\tau; auf einer Zehnerskala fällt sie je 2,303\,\tau um eine Dekade. Knickt die Punktreihe ab, wirken zwei Vorgänge mit verschiedenen Zeitkonstanten, oder ein Abzug fehlt, etwa die Umgebungstemperatur. In der Tabellenkalkulation stehen dafür LN, EXP und LOG10 bereit; \tau erhält man aus der Steigung einer Ausgleichsgeraden durch die logarithmierten Werte (Station 22).

Ein Pegel vergleicht eine Größe logarithmisch mit einem Bezugswert. Für Leistungsgrößen gilt L=10\lg(P/P_0)\,\mathrm{dB}, für Feldgrößen wie Spannung, Strom oder Schalldruck L=20\lg(U/U_0)\,\mathrm{dB}, weil die Leistung mit dem Quadrat der Feldgröße wächst; DIN 5493 nennt sie heute Leistungswurzelgrößen. Ein Spannungsverhältnis 10 und das zugehörige Leistungsverhältnis 100 ergeben bei gleichem Widerstand beide 20 dB. Mit festem Bezugswert entstehen absolute Pegel: dBm bezogen auf 1 mW, der Schalldruckpegel bezogen auf 20 µPa. Mit dem natürlichen Logarithmus gebildete Pegel haben die Einheit Neper: 1\,\mathrm{Np}=20\lg\ee\,\mathrm{dB}\approx 8,686\,\mathrm{dB}.

Die Eulersche Zahl ist der Grenzwert \ee=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=2,718\,28\ldots Wird ein Zuwachs von 100 % in n gleichen Teilschritten verzinst, ergibt sich für n=1 der Faktor 2, für n=12 der Faktor 2,613 und im Grenzfall stetiger Verzinsung \ee. Die Funktion \ee^x ist die einzige, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt und bei 0 den Wert 1 hat; deshalb löst y=y_0\,\ee^{kt} die Gleichung y'=k\,y. Ihre Potenzreihe \ee^x=\sum_{n=0}^{\infty} x^n/n! konvergiert für alle x (Station 11). Bei konstanter Ausfallrate \lambda sinkt die Überlebenswahrscheinlichkeit eines Bauteils wie \ee^{-\lambda t} (Exponentialverteilung, Station 20).

Reales Wachstum stößt an Grenzen. Das logistische Modell y'=r\,y\,(1-y/K) hat die Lösung y(t)=\frac{K}{1+(K/y_0-1)\,\ee^{-rt}} Anfangs wächst y exponentiell mit der Rate r, dann flacht die Kurve ab und nähert sich der Kapazität K. Am schnellsten wächst sie bei y=K/2, im Wendepunkt. So beschreibt man Bakterienkulturen mit begrenztem Nährstoff und, als grobes Modell, die Ausbreitung neuer Techniken im Markt. Wer aus den ersten Punkten einer solchen Kurve exponentiell hochrechnet, überschätzt den späteren Verlauf um Größenordnungen.

Wie schnell chemische Vorgänge ablaufen, auch die Alterung von Isolierstoffen, beschreibt die Arrhenius-Gleichung k=A\,\ee^{-E_\mathrm{a}/(RT)} mit der Aktivierungsenergie E_\mathrm{a}, der Gaskonstante R und der absoluten Temperatur T. Trägt man \ln k über 1/T auf, entsteht eine Gerade. Die Faustregel „10 K wärmer, halbe Lebensdauer“ folgt daraus nur näherungsweise: Das Temperaturintervall, in dem sich die Lebensdauer halbiert, beträgt etwa \Delta T_{1/2}\approx\ln 2\cdot R\,T^2/E_\mathrm{a} und hängt von Material und Temperatur ab. Hersteller von Aluminium-Elektrolytkondensatoren rechnen mit 10 K; für das Öl-Papier-Isoliersystem von Transformatoren mit nicht thermisch stabilisiertem Papier setzt die Belastungsrichtlinie IEC 60076-7 eine Verdopplung der Alterungsrate je 6 K an. Außerhalb des geprüften Temperaturbereichs oder wenn ein anderer Alterungsvorgang einsetzt, trägt die Hochrechnung nicht mehr.

Eine Sinusschwingung wiederholt sich nach der Periodendauer T. Die Frequenz f=1/T gibt an, wie viele Perioden in einer Sekunde ablaufen; im europäischen Stromnetz sind es 50 Hertz (Hz), also eine Periode alle 20 ms. Der größte Wert heißt Scheitelwert oder Amplitude \hat u. Die Netzspannung folgt u(t)=\hat u\cdot\sin(2\pi f\,t) Statt 2\pi f schreibt man kurz die Kreisfrequenz \omega=2\pi f; bei 50 Hz sind das 314 je Sekunde.

Anschaulich ist die Sinusschwingung der Schatten eines rotierenden Zeigers: Ein Pfeil der Länge \hat u dreht sich 50-mal in der Sekunde, und seine Höhe über der waagerechten Achse ist der Augenblickswert u(t). Zwei Schwingungen gleicher Frequenz können gegeneinander verschoben sein. Diese Phasenverschiebung misst man als Winkel: Eine volle Periode entspricht 360°, eine Verschiebung um 5 ms bei 50 Hz also 90°. In der Grafik sind Spannung und Strom eines Verbrauchers gezeigt; mit dem Regler verschieben Sie den Strom gegenüber der Spannung.

Die Angabe 230 V ist ein Effektivwert. Er ist so festgelegt, dass eine Wechselspannung in einem Widerstand, etwa einem Heizlüfter, dieselbe Wärme erzeugt wie eine Gleichspannung dieses Betrags. Weil die Leistung mit dem Quadrat der Spannung wächst, mittelt man u^2 über eine Periode und zieht dann die Wurzel. Für Sinusschwingungen ergibt das U=\frac{\hat u}{\sqrt2}\approx0,707\cdot\hat u Umgekehrt ist \hat u=\sqrt2\cdot230\unit{V}=325\unit{V}. Messgeräte zeigen Effektivwerte an; Isolierungen und Bauteile müssen dagegen den Scheitelwert aushalten.

Im Haushalt liegen 230 V zwischen einem Außenleiter und dem Neutralleiter, zwischen zwei der drei Außenleiter des Drehstromnetzes 400 V. Diese Werte und die Frequenz 50 Hz legt die Norm DIN EN 60038 fest. Im Betrieb darf die Spannung abweichen: Nach DIN EN 50160 sollen 95 % der Zehn-Minuten-Mittelwerte einer Woche zwischen 207 V und 253 V liegen (±10 %), alle zwischen 195,5 V und 253 V.

In einem linearen Wechselstromkreis schwingen alle Spannungen und Ströme mit derselben Frequenz; sie unterscheiden sich nur in Amplitude und Phase. Beides fasst ein Zeiger zusammen, die komplexe Zahl \underline U=U\,\ee^{\jj\varphi_u} mit dem Effektivwert U als Betrag und dem Nullphasenwinkel \varphi_u als Richtung. Die Zeitfunktion ist der Imaginärteil des rotierenden Zeigers: u(t)=\sqrt2\,U\sin(\omega t+\varphi_u)=\mathrm{Im}\big(\sqrt2\,\underline U\,\ee^{\jj\omega t}\big) Die Ableitung nach der Zeit wird damit zur Multiplikation mit \jj\omega, und aus Differentialgleichungen werden algebraische Gleichungen. In der Elektrotechnik heißt die imaginäre Einheit \jj, weil i für den Strom steht.

Das Verhältnis der Zeiger von Spannung und Strom ist die Impedanz \underline Z=\underline U/\underline I=R+\jj X. Ein ohmscher Widerstand hat \underline Z=R; Strom und Spannung sind in Phase. Eine Spule hat \underline Z=\jj\omega L mit dem Blindwiderstand X_L=\omega L; der Strom eilt der Spannung um 90° nach. Ein Kondensator hat \underline Z=1/(\jj\omega C)=-\jj/(\omega C); der Strom eilt um 90° vor. In Reihe addieren sich Impedanzen. Für Widerstand und Spule gilt |\underline Z|=\sqrt{R^2+(\omega L)^2} und \tan\varphi=\omega L/R, wobei \varphi=\varphi_u-\varphi_i der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom ist.

Die Augenblicksleistung p(t)=u(t)\,i(t) schwingt mit doppelter Netzfrequenz. Ihr Mittelwert ist die Wirkleistung P=U\,I\cos\varphi in W, die in Wärme oder mechanische Arbeit übergeht. Die Blindleistung Q=U\,I\sin\varphi in var beschreibt Energie, die zwischen Netz und Verbraucher hin- und herpendelt. Die Scheinleistung S=U\,I=\sqrt{P^2+Q^2} in VA bestimmt, wie stark Leitungen und Transformatoren belastet werden. Der Leistungsfaktor \cos\varphi=P/S gibt an, welcher Anteil davon Wirkleistung ist. Mit Zeigern gilt \underline S=\underline U\,\underline I^{*}=P+\jj Q; die Begriffe legt DIN 40110-1 fest. Im Verbraucherzählpfeilsystem ist die Blindleistung eines induktiven Verbrauchers positiv, Q\gt0, die eines Kondensators negativ.

Das Drehstromnetz hat drei Außenleiter, deren Spannungen gegen den Neutralleiter um je 120° versetzt sind. Die Spannung zwischen zwei Außenleitern ist die Differenz zweier Zeiger, \underline U_{12}=\underline U_1-\underline U_2. Aus dem gleichschenkligen Dreieck mit 120° an der Spitze folgt U_{12}=2\cdot230\unit{V}\cdot\cos30^\circ=\sqrt3\cdot230\unit{V}=398\unit{V} gerundet die genormten 400 V. Ein symmetrischer Drehstromverbraucher nimmt P=\sqrt3\,U_{12}\,I\cos\varphi auf. Wie der Effektivwert als Integral über eine Periode entsteht, zeigt Station 10.

Programme rechnen direkt mit komplexen Zahlen, in Python etwa 230*cmath.exp(1j*phi); Tabellenkalkulationen haben dafür eigene Funktionen wie KOMPLEXE, IMPRODUKT, IMABS und IMARGUMENT. Winkel stehen dort im Bogenmaß.

Grundlage der Zeigerrechnung ist die Euler-Formel \ee^{\jj x}=\cos x+\jj\sin x. Gleichfrequente Schwingungen addieren sich wie ihre Zeiger: A_1\sin(\omega t+\varphi_1)+A_2\sin(\omega t+\varphi_2)=A\sin(\omega t+\varphi) mit A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2). Zwei Ströme von je 10 A ergeben bei 90° Verschiebung 14,1 A und bei 120° nur 10 A. Bei verschiedenen Frequenzen rotieren die Zeiger verschieden schnell; für gleiche Amplituden gilt \sin\omega_1t+\sin\omega_2t=2\cos\tfrac{(\omega_1-\omega_2)t}{2}\cdot\sin\tfrac{(\omega_1+\omega_2)t}{2} Die Summe schwillt mit der Differenzfrequenz |f_1-f_2| an und ab, eine Schwebung. Musiker stimmen so auf den Kammerton 440 Hz (ISO 16), und beim Synchronisieren eines Generators zeigt die Schwebung der Differenzspannung, wie weit die Frequenzen noch auseinanderliegen.

Für verzerrte, aber periodische Größen gilt die Definition U=\sqrt{\tfrac1T\int_0^T u^2\,\dd t} weiter. Zerlegt man u in Sinusschwingungen (Station 13), addieren sich die Quadrate der Effektivwerte: U=\sqrt{U_0^2+U_1^2+U_2^2+\dots}. Der Scheitelfaktor \hat u/U beträgt beim Sinus \sqrt2, beim Rechteck 1 und beim Dreieck \sqrt3; Netzteile mit Gleichrichter ziehen Stromspitzen mit deutlich höherem Scheitelfaktor. Einfache Messgeräte messen den Gleichrichtwert und rechnen mit dem Faktor des Sinus um; bei verzerrten Größen zeigen nur Geräte mit echter Effektivwertmessung richtig an. Als Leistungsfaktor dient dann allgemein \lambda=P/S.

Motoren und andere induktive Verbraucher belasten das Netz mit Blindstrom. Ein Kondensator parallel liefert die Blindleistung vor Ort: Um den Leistungsfaktor von \cos\varphi_1 auf \cos\varphi_2 zu heben, braucht man Q_C=P\,(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2) und je Strang C=Q_{C,\mathrm{Strang}}/(\omega U^2) mit der Spannung U am Kondensator. Kondensator und Netzinduktivität bilden allerdings einen Schwingkreis mit der Resonanzfrequenz f_0=1/(2\pi\sqrt{LC}) (Station 12); liegt sie nahe einer Oberschwingung, wird diese verstärkt. In Netzen mit vielen Oberschwingungen setzt man deshalb verdrosselte Kompensationsanlagen ein: Drosseln in Reihe zu den Kondensatoren verschieben die Resonanz unter die Frequenzen der störenden Oberschwingungen.

Eine Änderungsrate gibt an, um wie viel sich eine Größe je Einheit einer anderen ändert: die Geschwindigkeit in Kilometern je Stunde, die Leistung in Kilowattstunden je Stunde, also Kilowatt, eine Abkühlung in Kelvin je Minute. Über ein Intervall gemittelt ist sie der Quotient der Änderungen \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} Im Diagramm ist das die Steigung der Sekante, der Geraden durch die beiden Kurvenpunkte. Ihre Einheit ist stets „Einheit von y je Einheit von x“.

Wie schnell sich eine Größe in einem Augenblick ändert, erhält man, indem man das Intervall immer kleiner macht. Die Sekante dreht sich dabei in die Tangente, die Gerade, die die Kurve im Punkt berührt. Ihre Steigung heißt Ableitung f'(x_0): f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} Der Tachometer zeigt so die momentane Geschwindigkeit; teilt man die gefahrene Strecke durch die Fahrzeit, erhält man die mittlere.

Rechnet man die Steigung an jeder Stelle aus, entsteht eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f'. Sie ist positiv, wo f steigt, negativ, wo f fällt, und null in Hoch- und Tiefpunkten (Station 17). Für Potenzen gilt die Potenzregel (x^n)'=n\cdot x^{n-1}, etwa (x^2)'=2x und (x^3)'=3x^2. Eine Konstante hat die Ableitung 0, ein konstanter Faktor bleibt stehen: (c\cdot f)'=c\cdot f'. Ein Auto, das gleichmäßig beschleunigt, legt s(t)=1\unit{m/s^2}\cdot t^2 zurück; seine Geschwindigkeit ist v(t)=s'(t)=2\unit{m/s^2}\cdot t, nach 5 s also 10 m/s.

In der Grafik wählen Sie ein Beispiel und verschieben den Punkt mit dem Regler oder direkt im Diagramm. Wird der Abstand h kleiner, nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente. Das untere Diagramm zeigt die Ableitungsfunktion: beim Zählerstand die Leistung, beim Anfahren die Geschwindigkeit, beim Abkühlen die Abkühlrate.

Ableitungen setzt man aus wenigen Regeln zusammen. Summen und konstante Faktoren werden gliedweise abgeleitet. Für Produkte und Quotienten gilt (u\,v)'=u'v+u\,v',\qquad\Big(\frac uv\Big)'=\frac{u'v-u\,v'}{v^2} und für verkettete Funktionen die Kettenregel \big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x), äußere mal innere Ableitung. Dazu kommen die Grundableitungen (\ee^x)'=\ee^x, (\ln x)'=1/x, (\sin x)'=\cos x und (\cos x)'=-\sin x. Mit der Kettenregel folgt (\ee^{-t/\tau})'=-\tfrac1\tau\,\ee^{-t/\tau} und (\hat u\sin\omega t)'=\omega\,\hat u\cos\omega t; deshalb eilt der Strom i=C\,\dd u/\dd t eines Kondensators der Spannung um 90° voraus (Station 8).

Die zweite Ableitung f'' ist die Änderungsrate der Änderungsrate. Beim Weg s(t) ist s'=v die Geschwindigkeit und s''=v'=a die Beschleunigung, die dritte Ableitung heißt Ruck. Geometrisch beschreibt f'' die Krümmung: Für f''\gt0 ist der Graph nach oben gekrümmt, für f''\lt0 nach unten; wo f'' das Vorzeichen wechselt, liegt ein Wendepunkt. Im Stromnetz heißt die Ableitung der Leistung nach der Zeit Laständerungsgeschwindigkeit, angegeben in MW je Minute.

Viele Messgrößen sind Ableitungen. Die Leistung ist die Ableitung der Energie nach der Zeit; ein elektronischer Zähler gibt zum Beispiel 10 000 Impulse je kWh ab, aus dem Abstand der Impulse folgt die Momentanleistung. Grenzkosten K'(x) geben an, was die nächste produzierte Einheit kostet. Ein Temperaturgradient wie -6,5\unit{K/km} in der Normatmosphäre (ISO 2533) ist eine Ableitung nach dem Ort. In der Chemie ist die Reaktionsgeschwindigkeit die Ableitung der Konzentration nach der Zeit, geteilt durch den stöchiometrischen Koeffizienten, der für Ausgangsstoffe negativ gezählt wird (Definition der IUPAC, der Internationalen Union für reine und angewandte Chemie). Ableiten und Integrieren sind Umkehrungen: Der Zählerstand ist das Integral der Leistung (Station 10).

Liegen nur Messwerte y_i im Abstand h vor, ersetzt man die Ableitung durch einen Differenzenquotienten. Der Vorwärtsquotient (y_{i+1}-y_i)/h hat einen Fehler proportional zu h, der zentrale (y_{i+1}-y_{i-1})/(2h) einen Fehler proportional zu h^2; er ist bei gleichem Aufwand genauer. Messrauschen wird dagegen durch h geteilt: Streuen die Werte mit \sigma, streut der zentrale Quotient mit \sigma/(\sqrt2\,h), halber Abstand bedeutet doppeltes Rauschen. Abhilfe schaffen größere Abstände, vorheriges Glätten oder eine Ausgleichsgerade über mehrere Punkte; alle drei verschmieren schnelle Änderungen. In der Tabellenkalkulation lautet der zentrale Quotient für Zeiten in Spalte A und Messwerte in Spalte B etwa =(B4-B2)/(A4-A2).

Hängt eine Größe von mehreren Variablen ab, etwa die Heizleistung P=U^2/R von Spannung und Widerstand, leitet man nach einer Variablen ab und hält die anderen fest: partielle Ableitungen \partial P/\partial U=2U/R und \partial P/\partial R=-U^2/R^2. Der Vektor der partiellen Ableitungen ist der Gradient. Bei einem Temperaturfeld T(x, y, z) zeigt \nabla T in Richtung des stärksten Anstiegs, und der Wärmestrom fließt nach dem Fourierschen Gesetz \dot{\vec q}=-\lambda\,\nabla T entgegengesetzt. Das totale Differential \dd P=\frac{\partial P}{\partial U}\,\dd U+\frac{\partial P}{\partial R}\,\dd R beschreibt die Wirkung kleiner Änderungen, relativ \frac{\dd P}{P}=2\,\frac{\dd U}{U}-\frac{\dd R}{R}. Darauf beruht die Fortpflanzung von Messunsicherheiten (Station 3).

Woher die Fehlerordnungen kommen, zeigt die Taylorentwicklung f(x\pm h)=f\pm h\,f'+\tfrac{h^2}{2}f''\pm\tfrac{h^3}{6}f'''+\dots (Station 11): Im Vorwärtsquotienten bleibt \tfrac h2f'' stehen, im zentralen heben sich die geraden Glieder auf, und es bleibt \tfrac{h^2}{6}f'''. Rechnet man mit Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit (relative Rundung \varepsilon\approx1,1\cdot10^{-16}), kommt ein Rundungsfehler der Größe \varepsilon|f|/h hinzu, weil fast gleiche Zahlen voneinander abgezogen werden. Für Größen der Ordnung 1 ist der Gesamtfehler des Vorwärtsquotienten bei h\approx\sqrt\varepsilon\approx10^{-8} am kleinsten, der des zentralen bei h\approx\sqrt[3]\varepsilon\approx10^{-5}. Die Richardson-Extrapolation \big(4D(h/2)-D(h)\big)/3 hebt beim zentralen Quotienten das h^2-Glied auf.

Bei verrauschten Messdaten wächst der Verfahrensfehler mit h^2, das Rauschen mit 1/h; der günstigste Abstand ist proportional zu \sqrt[3]{\sigma/|f'''|}. Das Savitzky-Golay-Verfahren (1964) passt in einem gleitenden Fenster ein Polynom nach der Methode der kleinsten Quadrate an und leitet dieses ab; das läuft auf eine Faltung mit festen Gewichten hinaus. Für eine Gerade durch 2m+1 Punkte lautet die Ableitung \sum_{k=-m}^{m}k\,y_{i+k}\big/\big(h\sum k^2\big) (Station 22).

Fährt ein Auto eine Stunde lang mit 50 km/h, legt es 50 km zurück: Geschwindigkeit mal Zeit. Ändert sich die Geschwindigkeit, zerlegt man die Fahrt in kurze Abschnitte, in denen sie fast gleich bleibt, rechnet für jeden Abschnitt Geschwindigkeit mal Dauer und addiert. Im Diagramm ist jeder Beitrag ein schmaler Streifen unter der Kurve, die Summe aller Streifen ist die Fläche unter der Kurve. Das bestimmte Integral ist diese Fläche, genauer der Wert, dem sich die Summe nähert, wenn die Streifen immer schmaler werden.

Geschrieben wird das als \int_a^b f(x)\,\dd x. Das langgezogene S steht für Summe, a und b sind Anfang und Ende des Bereichs, und \dd x steht für die Breite der schmalen Streifen. Die Einheit des Ergebnisses ist die Einheit von f mal die Einheit von x: Leistung in Kilowatt über die Zeit in Stunden ergibt Energie in Kilowattstunden (kWh), Geschwindigkeit in m/s über die Zeit in s ergibt einen Weg in m.

Liegt die Kurve unter der Achse, zählt die Fläche negativ. Beim senkrechten Wurf ist die Geschwindigkeit erst positiv, solange der Ball steigt, und dann negativ, wenn er fällt. Das Integral der Geschwindigkeit ist deshalb die Höhe über dem Abwurfpunkt und nicht die insgesamt zurückgelegte Strecke; für die Strecke addiert man die Flächen ohne Vorzeichen.

In der Grafik wählen Sie ein Beispiel und die Zahl der Streifen. Die Summe kommt dem genauen Wert umso näher, je mehr Streifen es sind. Die Trapezregel verbindet die Kurvenpunkte durch gerade Linien und trifft bei gekrümmten Kurven schon mit wenigen Streifen recht genau.

Für eine Funktion f auf dem Intervall [a, b] teilt man das Intervall in n Teile der Breite \Delta x=(b-a)/n und bildet die Riemann-Summe \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x mit je einer Stelle \xi_i im i-ten Teilintervall. Für stetige Funktionen strebt sie mit wachsendem n gegen denselben Grenzwert, gleich wie die \xi_i gewählt werden. Dieser Grenzwert ist das bestimmte Integral: \int_a^b f(x)\,\dd x=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x

Berechnet wird es meist mit einer Stammfunktion F, also einer Funktion mit F'=f. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet \int_a^b f(x)\,\dd x=F(b)-F(a) Anschaulich: Wer den Zählerstand F am Anfang und am Ende kennt, kennt den Verbrauch, und die Leistung f ist die Änderungsrate des Zählerstands (Station 9). Häufige Stammfunktionen: x^n hat \frac{x^{n+1}}{n+1} für n\neq -1, \frac1x hat \ln|x|, \ee^{kx} hat \frac1k\,\ee^{kx}, \sin(\omega t) hat -\frac1\omega\cos(\omega t).

Hinter fast jedem Integral in der Technik steht eine Bilanz: Energie E=\int P\,\dd t, Arbeit W=\int F\,\dd s bei Kraft in Wegrichtung, Ladung Q=\int I\,\dd t, Volumen V=\int \dot V\,\dd t aus dem Volumenstrom \dot V. Der Mittelwert \bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t ist die Höhe des Rechtecks mit derselben Fläche; die mittlere Leistung eines Tages ist so der Tagesverbrauch geteilt durch 24 h.

Messdaten liegen nur an einzelnen Stützstellen f_i=f(x_i) vor. Dann ersetzt man f zwischen den Punkten durch einfache Funktionen: Stufen (Rechteckregel), Geraden (Trapezregel) oder Parabeln durch je drei Punkte (Simpsonregel): T_n=\Delta x\left(\tfrac12 f_0+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac12 f_n\right)S_n=\tfrac{\Delta x}{3}\left(f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\right) Die Simpsonregel braucht eine gerade Zahl von Teilintervallen. Bei glatten Funktionen sinkt der Fehler der Trapezregel bei halber Schrittweite etwa auf ein Viertel, der der Simpsonregel etwa auf ein Sechzehntel.

Fehlerabschätzungen, wenn f zwei- beziehungsweise viermal stetig differenzierbar ist: \int_a^b f\,\dd x-T_n=-\frac{(b-a)\,\Delta x^2}{12}\,f''(\xi)\int_a^b f\,\dd x-S_n=-\frac{(b-a)\,\Delta x^4}{180}\,f^{(4)}(\xi) mit einer Zwischenstelle \xi\in(a, b). Die Simpsonregel ist deshalb für Polynome bis zum Grad drei exakt. Die Mittelpunktregel hat dieselbe Ordnung wie die Trapezregel, mit etwa halb so großem Fehler und umgekehrtem Vorzeichen: \int_a^b f\,\dd x-M_n=\frac{(b-a)\,\Delta x^2}{24}f''(\xi). Aus den Trapezwerten zu \Delta x und \Delta x/2 ergibt die Richardson-Extrapolation (4T_{2n}-T_n)/3 genau den Simpsonwert S_{2n}; wiederholt angewendet ist das das Romberg-Verfahren.

Die Euler-Maclaurin-Formel zeigt, woher der Fehler der Trapezregel kommt: T_n-\int_a^b f\,\dd x=\frac{\Delta x^2}{12}\big(f'(b)-f'(a)\big)+O(\Delta x^4). Beim Lastgang über einen ganzen Tag sind die Steigungen um Mitternacht am Anfang und am Ende fast gleich, der führende Fehlerterm ist entsprechend klein. Für glatte periodische Funktionen über eine volle Periode fällt der Fehler der Trapezregel sogar schneller als jede Potenz von \Delta x.

Zwei Rechenregeln folgen direkt aus Produkt- und Kettenregel: partielle Integration \int u\,v'\,\dd x=u\,v-\int u'\,v\,\dd x und Substitution \int f(g(x))\,g'(x)\,\dd x=\int f(u)\,\dd u mit u=g(x). Uneigentliche Integrale sind Grenzwerte, etwa \int_0^\infty \ee^{-t/\tau}\,\dd t=\tau für die Fläche unter einer Entladekurve mit der Zeitkonstante \tau. Auch der Effektivwert einer Wechselgröße ist ein Integral: U_\text{eff}=\sqrt{\tfrac1T\int_0^T u^2(t)\,\dd t} (Station 8).

Aus großer Nähe betrachtet sieht eine glatte Kurve aus wie eine Gerade. Diese Gerade ist die Tangente: Sie geht durch den Punkt (x_0 \mid f(x_0)) und hat dort dieselbe Steigung f'(x_0) wie die Kurve (Station 9). In der Nähe von x_0 kann man deshalb mit der Tangente statt mit der Kurve rechnen: f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0) In Worten: Wert am bekannten Punkt plus Steigung mal Abstand. Der Fehler dieser Linearisierung wächst etwa mit dem Quadrat des Abstands; bei doppeltem Abstand ist er ungefähr viermal so groß.

Zwei Näherungen dieser Art kommen ständig vor. Für kleine Winkel gilt \sin x\approx x und \tan x\approx x, wenn x im Bogenmaß steht. Bei 10° (0,1745 rad) liegt \sin x\approx x um 0,5 % daneben, bei 30° um 4,7 %. Für kleine x gilt außerdem (1+x)^n\approx 1+n\,x: Wird jede Kante eines Würfels um 1 % länger, wächst sein Volumen um etwa 3 %, genau um 3,03 %.

Nimmt man zur Steigung noch die Krümmung hinzu, schmiegt sich statt der Geraden eine Parabel an die Kurve; mit weiteren Gliedern entstehen Polynome höheren Grades, die Taylorpolynome. In der Grafik wählen Sie eine Funktion, den Punkt x_0 und den Grad n. Grün hinterlegt ist der Bereich, in dem das Polynom um weniger als die Toleranz von der Funktion abweicht. Er wird mit höherem Grad meist breiter, bei \ln(1+x) um x_0=0 aber höchstens knapp über x=1 hinaus.

Dieselbe Idee löst Gleichungen, die sich nicht nach x umstellen lassen. Das Newton-Verfahren beginnt mit einem Schätzwert, ersetzt die Kurve dort durch ihre Tangente und nimmt die Stelle, an der die Tangente die Gleichung erfüllt, als nächsten Schätzwert. Nahe an der Lösung verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen ungefähr mit jedem Schritt. Die zweite Ansicht der Grafik zeigt das für \sqrt2 und für den Arbeitspunkt einer Diode: Dort schneidet man die Tangente an die Kennlinie der Diode mit der Geraden des Vorwiderstands.

Das Taylorpolynom n-ter Ordnung einer Funktion f im Entwicklungspunkt x_0 hat dort denselben Wert und dieselben ersten n Ableitungen wie f: T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k Dabei ist f^{(k)} die k-te Ableitung und k!=1\cdot2\cdots k, mit 0!=1. Um x_0=0 ergeben sich die bekannten Reihen \ee^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots, \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\dots, \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots und (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\dots

Wie groß der Fehler ist, sagt das Restglied nach Lagrange: f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-x_0)^{n+1} mit einer Zwischenstelle \xi zwischen x_0 und x. Setzt man für |f^{(n+1)}| den größten Wert im Intervall ein, erhält man eine sichere Schranke. Für |x|\le0,5 weicht x-\frac{x^3}{6} von \sin x um höchstens \frac{0,5^5}{5!}\approx2,6\cdot10^{-4} ab; weil das Glied mit x^4 null ist, gilt die Schranke der fünften Ordnung. Ob die Reihe für n\to\infty gegen f strebt, entscheidet der Konvergenzradius: Die Reihe für \ln(1+x) um 0 konvergiert nur für -1\lt x\le1.

In der Technik heißt die Näherung erster Ordnung Linearisierung im Arbeitspunkt: Kleine Änderungen hängen dort linear zusammen, \Delta y\approx f'(x_\mathrm A)\,\Delta x. Eine Diode folgt näherungsweise der Shockley-Gleichung I=I_\mathrm S\,\big(\ee^{U/(N U_T)}-1\big) mit dem Sättigungsstrom I_\mathrm S, dem Emissionskoeffizienten N und der Temperaturspannung U_T=kT/e; mit der Boltzmann-Konstante k, der Elementarladung e und T=300\unit{K} ist U_T=25,85\unit{mV}. Für kleine Änderungen wirkt die Diode wie der differentielle Widerstand r_\mathrm d=\frac{\dd U}{\dd I}\approx\frac{N U_T}{I}, bei 4,3 mA rund 11 Ω. So rechnen Schaltungsentwurf und Regelungstechnik: linearisieren und mit dem linearen Modell weiterrechnen, solange die Auslenkung klein bleibt (Station 12).

Gleichungen f(x)=0, die sich nicht auflösen lassen, löst man iterativ. Das Newton-Verfahren linearisiert in jedem Schritt: x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} Für die Diode am Vorwiderstand R=1\unit{k\Omega} an der Quellenspannung U_\mathrm q=5\unit{V} ist f(U)=I_\mathrm S\big(\ee^{U/(NU_T)}-1\big)-(U_\mathrm q-U)/R. Das Bisektionsverfahren halbiert dagegen ein Intervall, an dessen Enden f verschiedene Vorzeichen hat; es kommt immer an, braucht aber gut drei Schritte je Dezimalstelle. Das Sekantenverfahren ersetzt die Ableitung durch die Steigung durch die beiden letzten Punkte und kommt ohne Ableitung aus.

Abgebrochen wird, wenn sich x kaum noch ändert (|x_{k+1}-x_k|\lt\varepsilon) und zugleich |f(x_k)| klein ist, spätestens nach einer festen Höchstzahl von Schritten. Eines der beiden Kriterien allein genügt nicht: Bei einer flachen Kurve ist |f| klein, obwohl x noch weit von der Lösung entfernt ist, und ein Verfahren kann stehen bleiben, ohne angekommen zu sein. In der Tabellenkalkulation übernimmt die Zielwertsuche die Iteration; Programmbibliotheken kombinieren Bisektion mit schnellen Verfahren, etwa im Brent-Verfahren (in Python scipy.optimize.brentq).

Warum Newton so schnell ist, zeigt eine Taylorentwicklung um die Lösung x^*. Für den Fehler e_k=x_k-x^* gilt e_{k+1}\approx\frac{f''(x^*)}{2\,f'(x^*)}\,e_k^2 Der Fehler wird quadriert (quadratische Konvergenz). Das setzt eine einfache Nullstelle mit f'(x^*)\neq0 und einen Startwert in ihrer Nähe voraus; an einer doppelten Nullstelle halbiert sich der Fehler nur noch je Schritt. Ist f' am Startwert klein, schießt der Schritt weit hinaus: Bei der Diode springt das Verfahren vom Startwert 0,5 V auf 1,85 V und braucht dann fast 30 Schritte zurück. SPICE-Schaltungssimulatoren dämpfen deshalb die Newton-Schritte und begrenzen die Änderung jeder Sperrschichtspannung. Bei \arctan x=0 divergiert das Verfahren für |x_0|\gt1,39.

Für ein Gleichungssystem \mathbf F(\mathbf x)=\mathbf 0 tritt an die Stelle der Ableitung die Jacobi-Matrix \mathbf J mit den partiellen Ableitungen J_{ij}=\partial F_i/\partial x_j. Jeder Schritt löst ein lineares Gleichungssystem (Station 15): \mathbf J(\mathbf x_k)\,\Delta\mathbf x=-\mathbf F(\mathbf x_k)\mathbf x_{k+1}=\mathbf x_k+\Delta\mathbf x Die Standardanwendung in der Energietechnik ist die Lastflussrechnung: Unbekannt sind Betrag und Winkel der Knotenspannungen, die Gleichungen sind die Leistungsbilanzen der Knoten. Das Newton-Verfahren dafür wurde 1967 eingeführt und war nach einer Studie der US-amerikanischen National Academies von 2016 die gebräuchlichste Methode, für Netzmodelle mit bis zu 100 000 Knoten. Die Jacobi-Matrix ist dünn besetzt, weil jeder Knoten nur wenige Nachbarn hat.

Der Konvergenzradius ist der Abstand vom Entwicklungspunkt zur nächsten Stelle in der komplexen Zahlenebene, an der die Funktion singulär wird. Deshalb konvergiert \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\dots nur für |x|\lt1, obwohl die Funktion für alle reellen x glatt ist: Der Nenner wird bei \pm\ii null. Für \ln(1+x) um x_0 ist der Radius 1+x_0, für \sqrt x um x_0 ist er x_0.

Ein heißes Getränk kühlt anfangs schnell ab, später immer langsamer: Je größer der Unterschied zur Raumtemperatur, desto schneller fällt die Temperatur. Eine Gleichung, die eine Größe mit ihrer eigenen Änderungsrate verknüpft, heißt Differentialgleichung. Für das Abkühlen lautet sie \frac{\dd T}{\dd t}=-\frac{T-T_\mathrm U}{\tau} In Worten: Die Temperatur T ändert sich je Minute um den Abstand zur Umgebungstemperatur T_\mathrm U, geteilt durch die Zeitkonstante \tau. Das Minuszeichen sagt, dass sie fällt, solange das Getränk wärmer ist als der Raum.

Die Lösung einer Differentialgleichung ist ein ganzer Verlauf T(t). Man kann ihn Schritt für Schritt berechnen: aus dem aktuellen Wert die Änderungsrate bestimmen, mit einem kurzen Zeitschritt h multiplizieren und zum aktuellen Wert addieren. Diese Rechnung heißt Euler-Verfahren; in einer Tabellenkalkulation ist das eine Zeile je Zeitschritt. Weil die Rate innerhalb eines Schritts als fest angenommen wird, liegt das Ergebnis etwas daneben. Kleinere Schritte machen es genauer.

Ist das Getränk so warm wie der Raum, ist die Änderungsrate null, und es ändert sich nichts mehr. Dieser Zustand heißt Gleichgewicht. Die Zeitkonstante sagt, wie schnell es erreicht wird. Nach der Zeit \tau ist der Abstand zum Gleichgewicht auf 37 % gesunken, nach 5\tau auf unter 1 % (Station 7). Dieselbe Form hat das Aufladen eines Kondensators: Die Spannung steigt umso langsamer, je näher sie der Spannung der Quelle kommt.

In der Grafik wählen Sie ein Modell, die Zeitkonstante oder Dämpfung und die Schrittweite. Die kleinen Striche des Richtungsfelds zeigen an jeder Stelle, wie steil eine Lösung dort verläuft; die exakte Lösung folgt ihnen. Die roten Punkte sind die Schritte des Euler-Verfahrens. Bei der Schwingung hängt die Beschleunigung vom Zustand ab; dort schaukeln zu große Schritte die Schwingung künstlich auf.

Viele technische Systeme folgen der linearen Differentialgleichung 1. Ordnung \tau\,\dot y+y=K\,u dem PT1-Glied. Darin ist y die Ausgangsgröße, \dot y=\dd y/\dd t ihre Änderungsrate, u die Eingangsgröße, K die Verstärkung und \tau die Zeitkonstante. Springt u zur Zeit 0 auf den festen Wert u_0, folgt mit dem Anfangswert y_0 y(t)=K u_0+(y_0-K u_0)\,\ee^{-t/\tau} Herleitung durch Trennung der Variablen: Mit z=y-Ku_0 wird \tau\,\dot z=-z, also \frac{\dd z}{z}=-\frac{\dd t}{\tau}; Integrieren ergibt \ln|z|=-t/\tau+c und damit z=z_0\,\ee^{-t/\tau}.

Beim RC-Glied ist RC\,\dot u_C+u_C=U_0, die Zeitkonstante also \tau=RC. Bei einem Raum oder Wärmespeicher mit der Wärmekapazität C_\mathrm{th} in J/K und dem Wärmeverlustkoeffizienten UA in W/K (Wärmestrom je Kelvin Temperaturdifferenz) liefert die Energiebilanz C_\mathrm{th}\,\dot T=-UA\,(T-T_\mathrm U)+\dot Q mit der Heizleistung \dot Q; hier ist \tau=C_\mathrm{th}/UA. Große Masse und gute Dämmung bedeuten eine lange Zeitkonstante.

Das Euler-Verfahren für \dot y=f(t, y) lautet y_{k+1}=y_k+h\,f(t_k, y_k). Sein Fehler am Ende eines festen Zeitraums ist proportional zu h; bei halber Schrittweite halbiert er sich etwa. In der Tabellenkalkulation stehen t, y und f in Spalten, die nächste Zeile ist y+h\cdot f. Die Schrittweite muss deutlich kleiner sein als die kleinste Zeitkonstante, als Faustregel höchstens \tau/10. Für \tau\lt h\lt2\tau pendelt die Euler-Lösung um das Gleichgewicht, für h\gt2\tau wächst sie über alle Grenzen. Das Ergebnis prüft man, indem man mit halber Schrittweite nachrechnet.

Bei einer Masse m an einer Feder mit der Steifigkeit c und einem Dämpfer mit der Dämpfungskonstante d gilt m\ddot x+d\dot x+c\,x=F(t), normiert \ddot x+2D\omega_0\,\dot x+\omega_0^2\,x=\frac{F(t)}{m} mit der Eigenkreisfrequenz \omega_0=\sqrt{c/m} und dem Dämpfungsgrad D=\frac{d}{2\sqrt{cm}}. Für D\lt1 schwingt das System mit \omega_\mathrm d=\omega_0\sqrt{1-D^2} und der abklingenden Hüllkurve \ee^{-D\omega_0 t}; D=1 ist der aperiodische Grenzfall, der am schnellsten ohne Überschwingen zur Ruhe kommt; für D\gt1 kriecht das System zurück. Der RLC-Reihenkreis hat dieselbe Form mit \omega_0=1/\sqrt{LC} und D=\frac R2\sqrt{C/L}. Eine Gleichung 2. Ordnung braucht zwei Anfangswerte, etwa Lage und Geschwindigkeit. Für Schwingungen ist das explizite Euler-Verfahren ungeeignet: Es führt in jedem Schritt Energie zu.

Wird das System mit einer Kraft der Kreisfrequenz \Omega angeregt, schwingt es nach dem Einschwingen mit \Omega. Die Amplitude, bezogen auf die Auslenkung unter derselben ruhenden Kraft, ist V(\eta)=\frac{1}{\sqrt{(1-\eta^2)^2+(2D\eta)^2}} mit \eta=\Omega/\omega_0. Bei schwacher Dämpfung wird sie nahe \eta=1 groß, bei D=0,1 etwa fünffach; das ist die Resonanz. Maschinenfundamente, Wellen und Bauwerke werden deshalb so ausgelegt, dass ihre Eigenfrequenzen nicht mit Anregungsfrequenzen wie Drehzahlen zusammenfallen.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mittelt in jedem Schritt vier Steigungen: \begin{aligned}k_1&=f(t_k, y_k)\\k_2&=f\big(t_k+\tfrac h2, y_k+\tfrac h2\,k_1\big)\\k_3&=f\big(t_k+\tfrac h2, y_k+\tfrac h2\,k_2\big)\\k_4&=f(t_k+h, y_k+h\,k_3)\end{aligned}y_{k+1}=y_k+\tfrac h6\,(k_1+2k_2+2k_3+k_4) Sein globaler Fehler ist proportional zu h^4: Bei halber Schrittweite sinkt er auf ein Sechzehntel, bei vierfachem Aufwand je Schritt gegenüber Euler. Beim Abkühlen mit h=\tau/4 liegt Euler nach 60 min um 1,3 K daneben, Runge-Kutta um 0,0004 K.

Für die Testgleichung \dot y=\lambda y mit \lambda=-1/\tau liefert Euler y_{k+1}=(1+h\lambda)\,y_k. Die Näherung bleibt nur beschränkt, wenn |1+h\lambda|\le1, also h\le2\tau. Das implizite Euler-Verfahren y_{k+1}=y_k+h\,f(t_{k+1}, y_{k+1}) ergibt y_{k+1}=y_k/(1-h\lambda) und ist für jedes h stabil, verlangt aber in jedem Schritt das Lösen einer Gleichung (Station 11). Das lohnt sich bei steifen Systemen mit sehr verschiedenen Zeitkonstanten: Bei 1 ms und 10 s verlangt das explizite Euler-Verfahren h\le2\unit{ms} über den ganzen Vorgang, für 50 s also 25 000 Schritte, obwohl der schnelle Anteil nach wenigen Millisekunden abgeklungen ist.

Jede lineare Gleichung höherer Ordnung lässt sich als System 1. Ordnung schreiben. Mit dem Zustand \mathbf x=(x, \dot x) wird der Schwinger zu \dot{\mathbf x}=\mathbf A\,\mathbf x mit \mathbf A=\begin{pmatrix}0&1\\-\omega_0^2&-2D\omega_0\end{pmatrix}. Die Eigenwerte \lambda=-D\omega_0\pm\omega_0\sqrt{D^2-1} von \mathbf A (Station 16) bestimmen das Verhalten: negative Realteile bedeuten Abklingen, ein Imaginärteil Schwingung. In der Phasenebene wird jede Lösung zur Bahn (x, \dot x). Nichtlineare Systeme wie das Pendel \ddot\varphi+\frac gl\sin\varphi=0 löst man meist numerisch; für kleine Winkel wird mit \sin\varphi\approx\varphi daraus der lineare Schwinger mit \omega_0=\sqrt{g/l} (Station 11).

Jedes periodische Signal lässt sich aus Sinusschwingungen zusammensetzen: aus einer Grundschwingung mit der Frequenz des Signals und Oberschwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache davon sind. Ein Rechtecksignal mit 50 Hz besteht aus Sinusschwingungen mit 50, 150, 250 Hz und so fort; die dritte hat ein Drittel, die fünfte ein Fünftel der Amplitude der Grundschwingung. Das Zerlegen heißt Fourier-Analyse, das Zusammensetzen Fourier-Synthese, nach Joseph Fourier (1768–1830).

Trägt man die Amplituden der Teilschwingungen als Balken über ihrer Frequenz auf, erhält man das Spektrum. Es zeigt auf einen Blick, welche Frequenzen in einem Signal stecken. Bei Musikinstrumenten bestimmt es die Klangfarbe: Spielen zwei Instrumente den Kammerton a′ mit 440 Hz, haben beide dieselbe Grundfrequenz, aber verschieden starke Oberschwingungen bei 880 Hz, 1320 Hz und darüber.

Auch Ströme im Stromnetz sind oft nicht sinusförmig. Ein einfaches Netzteil mit Gleichrichter und Ladekondensator nimmt nur in kurzen Spitzen Strom auf, wenn die Netzspannung nahe ihrem Scheitelwert ist (Modellkurve in der Grafik). Sein Spektrum enthält starke Oberschwingungen bei 150, 250 und 350 Hz. Viele solche Geräte zusammen verzerren die Netzspannung und belasten Leitungen und Transformatoren zusätzlich.

Wer ein Signal misst, tastet es in festen Zeitabständen ab. Damit die Messwerte das Signal eindeutig festlegen, muss man mehr als doppelt so oft abtasten, wie die höchste enthaltene Frequenz ist (Abtasttheorem). Tastet man zu selten ab, zeigen die Messwerte eine falsche, niedrigere Frequenz; das heißt Aliasing. Aus Filmen kennt man den Effekt, wenn sich Räder scheinbar langsam rückwärts drehen. Die zweite Ansicht der Grafik zeigt das.

Eine Funktion f mit der Periode T und der Grundkreisfrequenz \omega_0=2\pi/T lässt sich unter schwachen Voraussetzungen als Fourier-Reihe schreiben: f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\big(a_k\cos k\omega_0t+b_k\sin k\omega_0t\big) Die Koeffizienten sind Integrale über eine Periode (Station 10): a_k=\frac2T\int_0^T f(t)\cos(k\omega_0t)\,\dd tb_k=\frac2T\int_0^T f(t)\sin(k\omega_0t)\,\dd t Jedes Integral misst, wie stark f mit der jeweiligen Schwingung übereinstimmt; a_0/2 ist der Mittelwert (Gleichanteil). Die Amplitude der k-ten Harmonischen ist A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}.

Ein Rechtecksignal, das zwischen +\hat u und -\hat u springt, hat a_k=0 und b_k=\frac{4\hat u}{\pi k} für ungerade k, für gerade k ist b_k=0. Der Sägezahn enthält alle Harmonischen mit Amplituden proportional zu 1/k, das Dreieck nur ungerade mit 1/k^2: Je glatter das Signal, desto schneller fallen die Koeffizienten. Symmetrien sparen Rechnung. Ungerade Funktionen haben nur Sinusglieder, gerade nur Kosinusglieder; Halbwellensymmetrie f(t+T/2)=-f(t) bedeutet nur ungerade Harmonische, wie bei den meisten Strömen im Netz.

Der Gesamtoberschwingungsgehalt (THD) setzt den Effektivwert aller Oberschwingungen ins Verhältnis zur Grundschwingung: \mathrm{THD}=\frac{\sqrt{A_2^2+A_3^2+\dots}}{A_1} Für das Rechteck sind das 48 %, für den Sägezahn 80 %, für das Dreieck 12 %. Nichtlineare Verbraucher wie Netzteile, Frequenzumrichter und LED-Treiber erzeugen Oberschwingungsströme; an der Impedanz des Netzes verzerren sie die Spannung, deren Merkmale in öffentlichen Netzen einschließlich der Kurvenform die Norm DIN EN 50160 (geltende Ausgabe 2020-11) beschreibt. Für Nieder- und Mittelspannung nennt sie einen Gesamtoberschwingungsgehalt der Spannung von höchstens 8 %, eingehalten von 95 % der Zehn-Minuten-Mittelwerte einer Woche. Bei gleich belasteten Außenleitern sind die Ströme der Ordnungen 3, 9, 15 gleichphasig und addieren sich im Neutralleiter.

Ein Signal ohne Anteile über f_\mathrm{max} ist durch Abtastwerte im Abstand 1/f_\mathrm a eindeutig bestimmt, wenn f_\mathrm a\gt2f_\mathrm{max} gilt (Abtasttheorem nach Nyquist und Shannon). Die halbe Abtastrate heißt Nyquist-Frequenz. Eine Frequenz f darüber erscheint bei der Aliasfrequenz f_\mathrm{alias}=|f-m\,f_\mathrm a|, wobei die ganze Zahl m den kleinsten Wert ergibt. In den Abtastwerten ist das nicht mehr zu erkennen; vor dem Abtasten entfernt deshalb ein analoges Tiefpassfilter (Anti-Aliasing-Filter) die hohen Frequenzen. Die Audio-CD tastet mit 44,1 kHz ab und nutzt Frequenzen bis 20 kHz; den Rest bis zur Nyquist-Frequenz von 22,05 kHz braucht der Übergangsbereich des Filters.

Ein Rechner sieht nur N Abtastwerte über die Messdauer T=N/f_\mathrm a. Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) berechnet daraus Anteile bei den Frequenzen k\,\Delta f mit der Frequenzauflösung \Delta f=\frac1T Frequenzen, die enger beieinander liegen, lassen sich nicht trennen, gleich wie hoch die Abtastrate ist: Für 1 Hz Auflösung muss man 1 s lang messen. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT, Cooley und Tukey 1965) liefert dasselbe Ergebnis mit etwa N\log_2N statt N^2 Rechenschritten; für N=2^{20} sind das rund 21 Millionen statt gut einer Billion. In Python steht sie in numpy.fft zur Verfügung.

Die DFT der Werte x_0, \dots, x_{N-1} ist X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\,\ee^{-\jj2\pi kn/N} für k=0, \dots, N-1. Sie behandelt das Messfenster, als wiederhole es sich periodisch. Passt keine ganze Zahl von Perioden hinein, entsteht am Fensterrand ein Sprung, und eine Spektrallinie verteilt sich auf Nachbarlinien (Leckeffekt). Fensterfunktionen wie das Hann-Fenster w_n=\sin^2(\pi n/N) blenden die Werte an den Rändern sanft aus. Sie senken die Anteile in weiter entfernten Linien stark, verbreitern aber die Hauptlinie. Wo es geht, wählt man das Fenster als ganzes Vielfaches der Periode, etwa zehn Perioden einer 50-Hz-Größe für 5 Hz Auflösung.

An Sprungstellen konvergiert die Fourier-Reihe nicht gleichmäßig: Die Teilsummen schießen um knapp 9 % der Sprunghöhe über, gleich wie viele Glieder man nimmt; das Überschwingen rückt nur näher an den Sprung (Gibbs-Phänomen). Die Parseval-Gleichung verbindet Zeit- und Frequenzbereich: \begin{aligned}\frac1T\int_0^T f^2(t)\,\dd t&=\frac{a_0^2}{4}+\frac12\sum_{k=1}^{\infty}\big(a_k^2+b_k^2\big)\end{aligned} Das Quadrat des Effektivwerts ist die Summe der Quadrate der Effektivwerte aller Harmonischen. Komplex geschrieben ist f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\,\ee^{\jj k\omega_0t} mit c_k=\frac1T\int_0^Tf(t)\,\ee^{-\jj k\omega_0t}\,\dd t und c_{\pm k}=\frac12(a_k\mp\jj b_k).

Ein lineares, zeitinvariantes System wie ein Filter verändert jede Harmonische für sich: Ihre komplexe Amplitude wird mit dem Frequenzgang H(\jj k\omega_0) multipliziert; im Zeitbereich entspricht das der Faltung mit der Impulsantwort. Ein RC-Tiefpass mit der Grenzfrequenz f_\mathrm g=\frac{1}{2\pi RC} (Station 12) rundet so die Flanken eines Rechtecks ab.

Eine Masse von 3 kg, eine Temperatur von 20 °C oder eine Energie von 5 kWh sind mit Zahl und Einheit vollständig beschrieben; solche Größen heißen Skalare. Bei einer Kraft, einer Geschwindigkeit oder einer Verschiebung gehört eine Richtung dazu. Diese Größen sind Vektoren. Man zeichnet sie als Pfeile: Die Länge steht in einem gewählten Maßstab für den Betrag, die Spitze zeigt die Richtung. Geschrieben wird ein Vektor mit Pfeil, \vec F, sein Betrag als |\vec F| oder kurz F.

Greifen zwei Kräfte am selben Punkt an, wirken sie zusammen wie eine einzige Kraft, die Resultierende. Zeichnerisch setzt man die Pfeile aneinander: den zweiten mit seinem Anfang an die Spitze des ersten. Der Pfeil vom Anfang des ersten bis zur Spitze des zweiten ist die Summe \vec R=\vec F_1+\vec F_2. Dasselbe ergibt die Diagonale des Parallelogramms, das beide Pfeile aufspannen. Die Beträge addieren sich nur, wenn beide Kräfte in dieselbe Richtung zeigen: 3 kN und 4 kN ergeben im rechten Winkel 5 kN, gegeneinander nur 1 kN.

Zum Rechnen zerlegt man jeden Vektor in Komponenten entlang zweier senkrechter Achsen. Eine Kraft F unter dem Winkel \alpha zur Waagerechten hat den waagerechten Anteil F_x=F\cdot\cos\alpha und den senkrechten Anteil F_y=F\cdot\sin\alpha. Vektoren addiert man, indem man die Komponenten getrennt addiert. Den Betrag der Summe liefert der Satz des Pythagoras: F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}.

Hängt eine Lampe in der Mitte eines Seils, müssen die beiden Seilkräfte S zusammen ihr Gewicht G tragen. Das leisten nur ihre senkrechten Anteile: 2\cdot S\cdot\sin\alpha=G, also S=\frac{G}{2\sin\alpha} mit dem Winkel \alpha des Seils gegen die Waagerechte. Bei 30° trägt jede Seilhälfte genau das Gewicht der Lampe, bei 5° fast das Sechsfache. Ein Seil, das kaum durchhängt, wird deshalb weit stärker belastet, als die Last allein vermuten lässt.

Im kartesischen Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z schreibt man einen Vektor als Spalte seiner Komponenten: \vec F=F_x\,\vec e_x+F_y\,\vec e_y+F_z\,\vec e_z=\begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix} Der Betrag ist |\vec F|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}; der Einheitsvektor \vec e_F=\vec F/|\vec F| hat die Länge 1 und trägt nur die Richtung. Addition und Vervielfachung gehen Komponente für Komponente. Ein Knoten ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller angreifenden Kräfte null ist. In der Ebene sind das zwei Gleichungen, \sum F_x=0 und \sum F_y=0; sie bestimmen zwei unbekannte Seil- oder Stabkräfte. Viele Knoten führen auf ein Gleichungssystem (Station 15).

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl: \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z mit dem Winkel \varphi zwischen beiden Vektoren. Es ist null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen, und liefert den Winkel über \cos\varphi=\vec a\cdot\vec b/(|\vec a|\,|\vec b|). \vec a\cdot\vec e_b ist die Komponente von \vec a in Richtung von \vec b. Eine konstante Kraft \vec F verrichtet auf dem geraden Weg \vec s die Arbeit W=\vec F\cdot\vec s in N·m = J, bei der Geschwindigkeit \vec v bringt sie die Leistung P=\vec F\cdot\vec v in W auf. Nur der Anteil in Bewegungsrichtung zählt; die Normalkraft einer ebenen Fahrbahn verrichtet keine Arbeit.

Das Kreuzprodukt \vec a\times\vec b ist ein Vektor senkrecht zu \vec a und \vec b. Sein Betrag |\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi ist die Fläche des Parallelogramms aus beiden Vektoren, seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel: Daumen \vec a, Zeigefinger \vec b, Mittelfinger \vec a\times\vec b. In Komponenten gilt \vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end{pmatrix} Vertauscht man die Faktoren, kehrt sich das Vorzeichen um. Greift eine Kraft \vec F am Ort \vec r relativ zum Drehpunkt an, ist ihr Drehmoment \vec M=\vec r\times\vec F in N·m. Sein Betrag ist Kraft mal Hebelarm, dem senkrechten Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt. Liegen \vec r und \vec F in der x-y-Ebene, bleibt nur M_z=r_xF_y-r_yF_x; positiv heißt Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

In der Tabellenkalkulation stehen die Komponenten in Spalten: Den Betrag liefert WURZEL(QUADRATESUMME(…)), das Skalarprodukt SUMMENPRODUKT(…), den Winkel eines ebenen Vektors ARCTAN2(x;y) im Bogenmaß, umgerechnet mit GRAD(…). In Python heißen die Gegenstücke numpy.linalg.norm, numpy.dot und numpy.cross; der Winkel kommt aus math.atan2(y, x), mit umgekehrter Reihenfolge der Argumente. Winkelfunktionen erwarten in beiden Programmen das Bogenmaß.

Zwei Vektoren der Ebene, die nicht parallel sind, bilden eine Basis: Jeder Vektor lässt sich eindeutig als \vec a=\lambda_1\vec b_1+\lambda_2\vec b_2 schreiben. Die Koordinaten \lambda_1, \lambda_2 sind die Lösung eines linearen Gleichungssystems, das genau dann eindeutig lösbar ist, wenn \vec b_1 und \vec b_2 linear unabhängig sind, also \det(\vec b_1, \vec b_2)\neq0. In einer Orthonormalbasis sind die Koordinaten einfach Skalarprodukte, \lambda_i=\vec a\cdot\vec b_i. So entsteht die Zerlegung an der schiefen Ebene: Mit \vec e_\parallel hangaufwärts und \vec e_\perp senkrecht vom Hang weg hat die Gewichtskraft die Koordinaten -G\sin\alpha und -G\cos\alpha.

Allgemein zerlegt die Orthogonalprojektion einen Vektor in einen Anteil parallel und einen senkrecht zu \vec b: \vec a_\parallel=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec b\cdot\vec b}\,\vec b,\qquad\vec a_\perp=\vec a-\vec a_\parallel Das Spatprodukt (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\det(\vec a, \vec b, \vec c) ist das Volumen des Spats aus drei Vektoren, mit Vorzeichen; es verschwindet genau dann, wenn alle drei in einer Ebene liegen. Drei Stäbe, die in einer Ebene liegen, können deshalb keine Last senkrecht zu dieser Ebene aufnehmen.

Ordnet man jedem Punkt einen Vektor zu, entsteht ein Vektorfeld, etwa das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung, das Schwerefeld oder ein elektrisches Feld. Der Gradient eines Skalarfelds ist ein solches Feld und zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs (Station 9). In einem ebenen Fachwerk mit k Knoten liefert das Gleichgewicht 2k Gleichungen für die Stab- und Lagerkräfte. Gibt es genauso viele Unbekannte und ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, heißt das Fachwerk statisch bestimmt.

Viele Aufgaben aus der Praxis führen auf mehrere Bedingungen, die gleichzeitig gelten müssen. Aus zwei Vorräten mit 10 % und 50 % Glykol soll eine Frostschutzmischung mit 30 % entstehen, etwa für den Solekreis einer Wärmepumpe, insgesamt 20 kg (Modellzahlen, Anteile nach Masse). Für die Massen x und y aus beiden Vorräten gilt: Zusammen ergeben sie 20 kg, x+y=20, und das Glykol muss stimmen, 0,1x+0,5y=0,3\cdot20=6. Beide Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem. Linear heißt: Die Unbekannten kommen nur mit Zahlenfaktoren vor, nicht als Potenzen oder Produkte.

Jede der beiden Gleichungen beschreibt eine Gerade in der x-y-Ebene; alle Punkte der Geraden erfüllen diese eine Gleichung. Die Lösung des Systems liegt auf beiden Geraden: Es ist ihr Schnittpunkt, hier x=10\unit{kg} und y=10\unit{kg}. Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt, oder sie fallen zusammen. Entsprechend hat das Gleichungssystem genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.

Rechnerisch gibt es zwei Wege. Beim Einsetzungsverfahren löst man eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, y=20-x, und setzt das in die andere ein: 0,1x+0,5\,(20-x)=6, also x=10. Beim Additionsverfahren nimmt man eine Gleichung mit einer Zahl mal, sodass beim Abziehen eine Unbekannte wegfällt: Das 0,1-Fache der ersten Gleichung von der zweiten abgezogen ergibt 0,4y=4. Das Additionsverfahren lässt sich auf beliebig viele Gleichungen übertragen; es ist der Kern des Gauß-Algorithmus.

Zum Schluss gehört die Probe: das Ergebnis in alle Gleichungen einsetzen und prüfen, ob es physikalisch möglich ist. Verlangt man 30 % aus Vorräten mit 10 % und 25 %, liefert die Rechnung eine negative Masse: Die Gleichungen sind lösbar, die Aufgabe nicht. Je ähnlicher die beiden Vorräte sind, desto flacher schneiden sich die Geraden und desto stärker verschiebt ein kleiner Fehler im Zielanteil das Ergebnis.

Mit n Unbekannten schreibt man ein lineares Gleichungssystem als \mathbf A\vec x=\vec b. Die Koeffizientenmatrix \mathbf A hat eine Zeile je Gleichung und eine Spalte je Unbekannter, \vec x enthält die Unbekannten, \vec b die rechten Seiten; das Produkt \mathbf A\vec x bildet in jeder Zeile die Summe aus Koeffizient mal Unbekannter. In der Technik entstehen solche Systeme aus Bilanzen: Was in einen Knoten hineinfließt, fließt wieder heraus (Ladung, Masse, Energie), Kräfte an einem Knoten heben sich auf (Station 14), Spannungen um eine geschlossene Masche summieren sich zu null.

In der Grafik speisen zwei Akkus mit Innenwiderstand gemeinsam einen Verbraucher. Die Knotenregel verlangt I_1+I_2-I_3=0, die Maschenregel liefert für die beiden Maschen R_1I_1+R_3I_3=U_1 und R_2I_2+R_3I_3=U_2. Drei Gleichungen für drei unbekannte Ströme: \begin{pmatrix}1&1&-1\\R_1&0&R_3\\0&R_2&R_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_1\\I_2\\I_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\U_1\\U_2\end{pmatrix}

Der Gauß-Algorithmus bringt das System in Stufenform: Man zieht Vielfache einer Zeile, der Pivotzeile, von den Zeilen darunter ab, bis unter der Diagonalen nur Nullen stehen, und löst dann von unten nach oben auf (Rückwärtseinsetzen). Drei Zeilenumformungen ändern die Lösung nicht: Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null malnehmen, ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Der Aufwand wächst mit etwa \frac23n^3 Rechenoperationen; 1000 Unbekannte brauchen rund 7\cdot10^8, für einen heutigen Rechner Sekundenbruchteile.

Ob es genau eine Lösung gibt, entscheidet der Rang \operatorname{rg}\mathbf A, die Zahl der Stufen nach der Elimination. Bei \operatorname{rg}\mathbf A=n ist die Determinante ungleich null und die Lösung für jede rechte Seite eindeutig. Ist der Rang kleiner, gibt es keine Lösung, wenn die erweiterte Matrix (\mathbf A\mid\vec b) einen höheren Rang hat, sonst unendlich viele mit n-\operatorname{rg}\mathbf A frei wählbaren Größen. Für 2×2-Matrizen ist \det\mathbf A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.

Praktisch rechnet der Computer. In der Tabellenkalkulation liefert =MMULT(MINV(A);b) die Lösung, MDET die Determinante; in Python löst numpy.linalg.solve(A, b) das System über eine LU-Zerlegung mit Pivotsuche (Routine gesv der Programmbibliothek LAPACK). Die Inverse ausdrücklich zu berechnen ist langsamer und ungenauer als direktes Lösen. Zur Probe gehört das Residuum \vec r=\vec b-\mathbf A\vec x, das klein sein muss, und der Blick, ob das Ergebnis physikalisch passt.

Der Gauß-Algorithmus zerlegt \mathbf A in ein Produkt \mathbf A=\mathbf L\mathbf U, die LU-Zerlegung: \mathbf U ist die Stufenform am Ende der Elimination, \mathbf L eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen und den Eliminationsfaktoren darunter. Jede weitere rechte Seite kostet dann nur zwei Dreieckslösungen mit etwa 2n^2 Operationen, etwa wenn dasselbe Netz für viele Lastfälle gerechnet wird. Steht auf der Diagonalen eine Null oder eine betragskleine Zahl, vertauscht man vorher die Zeilen so, dass das betragsgrößte Element der Spalte Pivot wird (Spaltenpivotsuche); dann gilt \mathbf P\mathbf A=\mathbf L\mathbf U mit einer Permutationsmatrix \mathbf P. Ohne Pivotsuche kann schon ein 2×2-System falsche Ergebnisse liefern, weil große Eliminationsfaktoren Rundungsfehler verstärken.

Wie empfindlich die Lösung auf Fehler in den Daten reagiert, misst die Konditionszahl \kappa(\mathbf A)=\|\mathbf A\|\,\|\mathbf A^{-1}\|: \frac{\|\Delta\vec x\|}{\|\vec x\|}\le\kappa(\mathbf A)\,\frac{\|\Delta\vec b\|}{\|\vec b\|} In der euklidischen Norm ist \kappa_2 das Verhältnis von größtem zu kleinstem Singulärwert (Station 16). Als Faustregel gehen bei \kappa\approx10^k bis zu k gültige Stellen verloren. Fast parallele Geraden, fast gleiche Mischungsvorräte oder fast linear abhängige Messgleichungen ergeben große Konditionszahlen; ein genauerer Rechner hilft dagegen nicht, denn die Ursache liegt in der Aufgabe.

Große Systeme aus Netzen und Finite-Elemente-Modellen sind dünn besetzt, weil jeder Knoten nur mit wenigen Nachbarn verbunden ist. Iterative Verfahren verbessern eine Näherung schrittweise: Das Jacobi-Verfahren löst jede Gleichung nach ihrer Diagonalunbekannten auf und setzt die alten Werte ein, das Gauß-Seidel-Verfahren verwendet neue Werte sofort. In Übertragungsnetzen rechnet man den Wirkleistungsfluss oft mit der Gleichstrom-Näherung \mathbf B'\vec\theta=\vec P: feste Spannungsbeträge, kleine Winkeldifferenzen, vernachlässigte Leitungswiderstände (Stott, Jardim, Alsaç 2009). Der vollständige Wechselstrom-Lastfluss ist nichtlinear und wird meist mit dem Newton-Verfahren gelöst (Station 11).

Eine 2×2-Matrix \mathbf A ordnet jedem Vektor \vec x der Ebene einen neuen Vektor \mathbf A\vec x zu: \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax_1+bx_2\\cx_1+dx_2\end{pmatrix} Die meisten Vektoren werden dabei gestreckt und gedreht. Wendet man die Matrix auf alle Vektoren der Länge 1 an, wird aus dem Einheitskreis eine Ellipse.

Für viele Matrizen gibt es besondere Richtungen, die sie nur streckt, staucht oder umkehrt, ohne sie zu drehen. Ein Vektor in einer solchen Richtung heißt Eigenvektor, der Streckfaktor Eigenwert \lambda (griechisch lambda): \mathbf A\vec v=\lambda\vec v. Die Matrix mit den Zeilen (2;\,1) und (1;\,2) etwa verdreifacht die Richtung (1;\,1), \lambda=3, und lässt die Richtung (1;\,-1) unverändert, \lambda=1. Eine Drehung um einen Winkel zwischen 0° und 180° hat keine solche Richtung.

In der Technik beschreiben solche Richtungen oft das Wesentliche. In einem belasteten Bauteil hängt die Spannung davon ab, in welcher Richtung man schneidet. Es gibt aber immer zwei senkrechte Hauptrichtungen, in denen nur Zug oder Druck und keine Schubspannung wirkt; die zugehörigen Hauptspannungen sind die größte und die kleinste Normalspannung. In einem Rohr unter Innendruck sind das die Umfangs- und die Längsrichtung. Die Spannung in Umfangsrichtung ist doppelt so groß wie in Längsrichtung (Kesselformel); deshalb reißt ein überlastetes Rohr der Länge nach auf.

Auch Schwingungen haben solche Vorzugsformen. Ein Gebäude, eine Brücke oder ein Turm hat bestimmte Schwingungsformen mit zugehörigen Frequenzen, den Eigenfrequenzen; jede freie Schwingung setzt sich aus diesen Formen zusammen. Trifft eine äußere Anregung eine Eigenfrequenz, schaukelt sich die Bewegung auf. Die Millennium Bridge in London geriet am Eröffnungstag im Juni 2000 durch Fußgänger in seitliche Schwingungen und wurde zwei Tage später gesperrt; nach dem Einbau von Dämpfern ist sie seit Februar 2002 wieder offen.

Eigenwerte \lambda und Eigenvektoren \vec v\neq\vec 0 einer quadratischen Matrix erfüllen \mathbf A\vec v=\lambda\vec v, also (\mathbf A-\lambda\mathbf I)\vec v=\vec 0 mit der Einheitsmatrix \mathbf I. Dieses homogene System hat nur dann eine Lösung \vec v\neq\vec 0, wenn \mathbf A-\lambda\mathbf I singulär ist (Station 15): \det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)=0. Für eine 2×2-Matrix ergibt das das charakteristische Polynom \lambda^2-(a+d)\,\lambda+(ad-bc)=0 mit der Spur a+d=\lambda_1+\lambda_2 und der Determinante ad-bc=\lambda_1\lambda_2. Ist die Diskriminante (a+d)^2-4(ad-bc) negativ, sind die Eigenwerte konjugiert komplex, und die Matrix dreht jede Richtung.

Den Eigenvektor zu \lambda liefert eine Zeile von (\mathbf A-\lambda\mathbf I)\vec v=\vec 0: Aus (a-\lambda)v_1+bv_2=0 folgt für b\neq0 etwa \vec v=(b;\,\lambda-a). Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt und werden meist auf die Länge 1 normiert. Für größere Matrizen rechnet ein Programm, in Python etwa numpy.linalg.eig, für symmetrische Matrizen numpy.linalg.eigh.

Der ebene Spannungszustand in einem Punkt eines Bauteils ist durch die symmetrische Matrix \begin{pmatrix}\sigma_x&\tau_{xy}\\\tau_{xy}&\sigma_y\end{pmatrix} gegeben. Ihre Eigenwerte sind die Hauptspannungen \sigma_{1, 2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Big)^2+\tau_{xy}^2} ihre Eigenvektoren die Hauptrichtungen, gedreht um \varphi_0 mit \tan2\varphi_0=2\tau_{xy}/(\sigma_x-\sigma_y). Der Mohrsche Spannungskreis zeigt das grafisch: Sein Mittelpunkt liegt bei (\sigma_x+\sigma_y)/2, sein Radius ist die Wurzel und zugleich die größte Schubspannung in der Ebene.

Ein Zweimassenschwinger, etwa ein zweigeschossiger Rahmen mit den Deckenmassen m_1, m_2 und den Stockwerkssteifigkeiten k_1, k_2, gehorcht \mathbf M\ddot{\vec x}+\mathbf K\vec x=\vec 0. Der Ansatz \vec x(t)=\vec v\cos(\omega t) führt auf \mathbf K\vec v=\omega^2\mathbf M\vec v. Die Eigenwerte \omega^2 liefern die Eigenkreisfrequenzen, f=\omega/(2\pi), die Eigenvektoren die Eigenformen: in der ersten schwingen beide Decken gleichsinnig, in der zweiten gegensinnig. Jede freie Schwingung ist eine Überlagerung der Eigenformen.

Auch Zufallsprozesse führen auf Eigenwerte. Eine Anlage sei an jedem Tag in Betrieb, gestört oder in Wartung. Die Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Tag zum nächsten, bedingte Wahrscheinlichkeiten (Station 19), stehen in einer Matrix \mathbf P, deren Spalten sich zu 1 summieren; die Verteilung am nächsten Tag ist \vec p_{k+1}=\mathbf P\vec p_k. Auf lange Sicht stellt sich die stationäre Verteilung \vec\pi mit \mathbf P\vec\pi=\vec\pi ein: der Eigenvektor zum Eigenwert 1. Ihr Anteil im Zustand Betrieb ist die Verfügbarkeit; wie schnell sie sich einstellt, bestimmt der betragsmäßig zweitgrößte Eigenwert.

Hat eine n\times n-Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren, lässt sie sich diagonalisieren: \mathbf A=\mathbf V\boldsymbol\Lambda\mathbf V^{-1} mit den Eigenvektoren als Spalten von \mathbf V und den Eigenwerten auf der Diagonalen von \boldsymbol\Lambda. Für symmetrische Matrizen sagt der Spektralsatz mehr: Alle Eigenwerte sind reell, und die Eigenvektoren lassen sich orthonormal wählen, \mathbf A=\mathbf Q\boldsymbol\Lambda\mathbf Q^\mathsf T. Deshalb stehen Hauptspannungsrichtungen senkrecht aufeinander. Die Scherung mit den Zeilen (1;\,1) und (0;\,1) dagegen hat den doppelten Eigenwert 1 mit nur einer Eigenrichtung und ist nicht diagonalisierbar.

Das lineare System \dot{\vec x}=\mathbf A\vec x (Station 12) zerfällt in der Eigenbasis in unabhängige Gleichungen \dot y_i=\lambda_iy_i mit den Lösungen y_i(t)=y_i(0)\,\ee^{\lambda_it}. Es ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte negativen Realteil haben; ein Paar \lambda=\delta\pm\ii\omega bedeutet eine Schwingung mit der Kreisfrequenz \omega, gedämpft für \delta\lt0. So untersuchen Netzbetreiber die Kleinsignalstabilität. Im kontinentaleuropäischen Verbundnetz gibt es Pendelungen zwischen Netzregionen mit etwa 0,15 Hz (Ost-West) und 0,25 Hz (Nord-Süd); am 1. Dezember 2016 schwang das Netz nach der Auslösung einer französischen 400-kV-Leitung am westlichen Verbindungskorridor nach Spanien rund fünf Minuten lang mit etwa 0,15 Hz (ENTSO-E, Verband der europäischen Übertragungsnetzbetreiber, 2017).

Große Eigenwertaufgaben löst man iterativ. Die Potenzmethode multipliziert einen Startvektor immer wieder mit \mathbf A und normiert; seine Richtung nähert sich dem Eigenvektor zum betragsgrößten Eigenwert, der Fehler schrumpft je Schritt etwa um |\lambda_2/\lambda_1|. So berechnete Google den PageRank, den Eigenvektor der normierten Linkmatrix des Webs (Brin, Page 1998). Die Hauptkomponentenanalyse sucht die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix von Messdaten; die erste Hauptkomponente ist die Richtung der größten Streuung (Station 18). Die Singulärwertzerlegung \mathbf A=\mathbf U\boldsymbol\Sigma\mathbf V^\mathsf T gibt es für jede Matrix: Die Singulärwerte sind die Halbachsen der Bildellipse des Einheitskreises, ihr Verhältnis ist die Konditionszahl (Station 15).

Optimieren heißt, unter allen möglichen Lösungen die beste zu finden, etwa die mit den geringsten Kosten oder dem kleinsten Materialverbrauch. Die Größe, die möglichst klein oder groß werden soll, heißt Zielfunktion. Im Diagramm ist ein Minimum der tiefste Punkt einer Kurve, ein Maximum der höchste. Ein Tal kann das tiefste in seiner Umgebung sein (lokales Minimum), während an anderer Stelle ein noch tieferes liegt (globales Minimum).

Oft ziehen zwei Kosten in entgegengesetzte Richtungen. Eine dickere Wärmedämmung kostet mehr, spart aber Heizkosten. Verteilt man den Preis der Dämmung auf ihre Nutzungsdauer, ergeben sich jährliche Kosten, die mit der Dicke gleichmäßig steigen. Die Heizkosten fallen, erst schnell, dann immer langsamer. Ihre Summe hat ein Minimum, die wirtschaftlichste Dämmstärke. Dort spart ein zusätzlicher Zentimeter gerade so viel Heizkosten, wie er selbst kostet.

Meist gibt es Grenzen, die jede Lösung einhalten muss, sogenannte Nebenbedingungen. Ein Kraftwerk hat zum Beispiel eine Höchstleistung, und der Strombedarf muss gedeckt sein. Die beste Lösung liegt dann oft genau auf einer solchen Grenze. Sind Kosten und Grenzen linear, im Diagramm also Geraden, liegt sie in einer Ecke des erlaubten Bereichs. Beim Einsatz von Kraftwerken heißt das: zuerst das Kraftwerk mit den niedrigsten Kosten je Megawattstunde (MWh) einsetzen, dann das nächstteurere, bis der Bedarf gedeckt ist.

In der Grafik wählen Sie zwischen der Dämmstärke und dem Einsatz zweier Kraftwerke. Bei der Dämmung verschieben Wärmepreis und Zinssatz das Minimum. Bei den Kraftwerken schieben Sie eine Linie gleicher Kosten so weit zu niedrigen Kosten, bis sie den erlaubten Bereich nur noch in einer Ecke berührt.

Eine differenzierbare Funktion f kann an einer Stelle x_0 im Innern ihres Bereichs nur dann ein Extremum haben, wenn die Tangente dort waagerecht ist: f'(x_0)=0 (notwendige Bedingung). Ist zusätzlich f''(x_0)\gt 0, liegt ein Minimum vor, bei f''(x_0)\lt 0 ein Maximum (hinreichende Bedingung). Extremwerte können aber auch am Rand des Bereichs oder an Knickstellen liegen, an denen die Ableitung nicht existiert. Für das globale Optimum sammelt man deshalb alle Kandidaten, also Nullstellen von f', Ränder und Knicke, und vergleicht ihre Funktionswerte.

Die jährlichen Kosten einer Wanddämmung der Dicke d betragen je Quadratmeter K(d)=a\,k\,d+\frac{p\,G}{R_0+d/\lambda_\mathrm{D}} Dabei ist a der Annuitätenfaktor in 1/a (Station 23), k der Preis der Dämmung je Meter Dicke und Quadratmeter, p der Wärmepreis in €/kWh, G die Heizgradstunden des Jahres in kK·h/a, R_0 der Wärmedurchgangswiderstand der ungedämmten Wand in m²K/W (Kehrwert ihres U-Werts U_0) und \lambda_\mathrm{D} die Wärmeleitfähigkeit des Dämmstoffs in W/(m·K). Aus K'(d)=0 folgt d^*=\lambda_\mathrm{D}\left(\sqrt{\frac{p\,G}{\lambda_\mathrm{D}\,a\,k}}-R_0\right) Weil K''(d)\gt 0 ist, handelt es sich um ein Minimum. Weil der Wärmepreis unter der Wurzel steht, rechtfertigt ein doppelt so hoher Preis keine doppelt so dicke Dämmung, im Modell 17 statt 11 cm. Feste Kosten wie Gerüst und Putz verschieben K nur nach oben und ändern d^* nicht; sie entscheiden aber, ob sich Dämmen überhaupt lohnt, also über den Vergleich mit dem Rand d=0.

Hängen mehrere Variablen über eine Gleichung zusammen, hilft der Lagrange-Multiplikator. Gesucht ist das Optimum von f(x, y) unter der Bedingung g(x, y)=c. Dort berührt die Kurve g=c eine Höhenlinie von f, die Gradienten sind parallel: \nabla f=\lambda\,\nabla g Mit g=c sind das drei Gleichungen für x, y und \lambda. Für einen zylindrischen Speicher mit festem Volumen V=\pi r^2h und kleinster Oberfläche A=2\pi r^2+2\pi r h, also mit den geringsten Wärmeverlusten, ergibt sich h=2r: Die Höhe ist gleich dem Durchmesser. Der Multiplikator gibt an, wie stark der optimale Wert von f wächst, wenn c um eins steigt.

Sind Zielfunktion und Nebenbedingungen linear, spricht man von linearer Optimierung oder einem linearen Programm. Jede Ungleichung wie x+y\ge L teilt die Ebene entlang einer Geraden; im zulässigen Bereich, einem Vieleck, sind alle Bedingungen erfüllt. Punkte gleicher Kosten c_1x+c_2y=Z liegen auf parallelen Geraden. Man verschiebt diese Gerade zu sinkenden Kosten, bis sie den Bereich gerade noch berührt. Ist er beschränkt und nicht leer, geschieht das in einer Ecke, bei Parallelität zu einer Kante auf der ganzen Kante.

Der Kraftwerkseinsatz nach der Merit-Order ist ein solches Programm: Minimiere \sum_i c_iP_i unter \sum_i P_i=L und 0\le P_i\le P_{i,\max}, mit den Grenzkosten c_i in €/MWh und der Last L. Gelöst wird es, indem man die Kraftwerke nach c_i sortiert und der Reihe nach einsetzt, bis die Last gedeckt ist. Anfahrkosten, Mindestleistungen und Netzengpässe machen das echte Problem größer. Größere Programme löst ein Solver, in Tabellenkalkulationen als Zusatzfunktion (in Excel der „Solver“ mit der Methode „Simplex-LP“), in Python etwa scipy.optimize.linprog; nichtlineare Aufgaben löst scipy.optimize.minimize. Nichtlineare Verfahren finden oft nur ein lokales Optimum; mehrere Startwerte zeigen, ob es weitere gibt.

Eine Funktion heißt konvex, wenn die Verbindungsstrecke zweier Punkte ihres Graphen nie unter dem Graphen liegt. Bei zweimal differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen ist das genau dann der Fall, wenn die Hesse-Matrix der zweiten Ableitungen überall positiv semidefinit ist, also keine negativen Eigenwerte hat (Station 16). Bei konvexen Aufgaben ist jedes lokale Minimum global; lineare Programme sind konvex. Das Gradientenverfahren geht in Schritten gegen den Gradienten: \mathbf x_{k+1}=\mathbf x_k-\alpha\,\nabla f(\mathbf x_k). Für eine quadratische Funktion, deren Hesse-Matrix die Eigenwerte m bis M hat, konvergiert es genau für 0\lt\alpha\lt 2/M. Mit der besten festen Schrittweite \alpha=2/(m+M) schrumpft der Abstand zum Minimum je Schritt mindestens um den Faktor (\kappa-1)/(\kappa+1) mit der Konditionszahl \kappa=M/m. Langgezogene Täler erzwingen deshalb viele Zickzackschritte; das Newton-Verfahren (Station 11) nutzt die Krümmung und findet das Minimum einer quadratischen Funktion in einem Schritt.

Für Ungleichungen g_i(\mathbf x)\le 0 verallgemeinern die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen (KKT) den Lagrange-Ansatz: \nabla f+\sum_i\mu_i\,\nabla g_i=\mathbf 0 \mu_i\ge 0,\qquad \mu_i\,g_i(\mathbf x)=0 Eine Bedingung, die im Optimum nicht greift, erhält den Multiplikator null (komplementärer Schlupf). Bei konvexen Aufgaben, die einen Punkt mit g_i\lt 0 für alle i besitzen (Slater-Bedingung), sind die Bedingungen notwendig und hinreichend. In linearen Programmen sind die Multiplikatoren die Variablen des dualen Programms, die Schattenpreise: Sie geben an, wie stark sich der optimale Zielwert ändert, wenn man eine Grenze um eine Einheit verschiebt. Im Merit-Order-Modell ist der Schattenpreis der Lastdeckung gleich den Grenzkosten des letzten eingesetzten Kraftwerks, also gleich dem Strompreis des Modells; der Schattenpreis der Höchstleistung eines günstigeren Kraftwerks ist dessen Deckungsbeitrag je MWh.

Das Simplex-Verfahren von George Dantzig (1947) wandert von Ecke zu Ecke des zulässigen Bereichs, jeweils zu einer benachbarten mit besserem Zielwert, bis es keine bessere mehr gibt; jeder Schritt ist ein Austauschschritt wie im Gauß-Algorithmus (Station 15). Innere-Punkte-Verfahren nähern sich dem Optimum durch das Innere des Bereichs. Müssen Variablen ganzzahlig sein, weil ein Kraftwerk entweder läuft oder steht, wird die Aufgabe gemischt-ganzzahlig und wesentlich schwerer. Gerundete Lösungen des linearen Programms sind dann oft unzulässig oder schlecht. Branch-and-Bound teilt die Aufgabe in Teilaufgaben auf und verwirft ganze Zweige, deren Schranke aus dem linearen Programm schon schlechter ist als die beste bekannte Lösung. Die Einsatzplanung von Kraftwerken mit Anfahrkosten und Mindestleistungen (Unit Commitment) ist eine solche Aufgabe.

Eine Windenergieanlage liefert in einem Jahr 8760 Stundenwerte ihrer Leistung. Um eine so lange Reihe zu überblicken, fasst man sie in wenigen Zahlen zusammen. Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Reihe: Die Hälfte der Werte liegt darunter, die andere Hälfte darüber. Minimum und Maximum sind der kleinste und der größte Wert, ihr Abstand heißt Spannweite.

Mittelwert und Median können weit auseinanderliegen. Im Modell der Grafik liefert die Windenergieanlage im Mittel 0,71 MW (Megawatt), der Median liegt aber bei 0,28 MW. In vielen Stunden weht wenig Wind, in wenigen sehr viel, und diese wenigen Stunden ziehen den Mittelwert nach oben. Eine solche Verteilung heißt schief. Bei der Außentemperatur liegen Mittelwert und Median dagegen nahe beieinander.

Bilder zeigen mehr als einzelne Zahlen. Die Zeitreihe zeigt den Verlauf über das Jahr. Das Histogramm teilt den Wertebereich in Klassen und zeigt, welcher Anteil der Werte in jede Klasse fällt. Der Boxplot fasst eine Reihe in einem Kasten zusammen: Er reicht vom unteren bis zum oberen Viertel der sortierten Werte, der Strich darin ist der Median, die Antennen zeigen den übrigen Bereich, einzelne Punkte auffällig weit entfernte Werte.

Solche Ausreißer können echte Extremwerte sein oder Fehler. Speichert ein Messgerät während eines Ausfalls die Ersatzzahl −999, verfälscht schon ein einziger Tag den Jahresmittelwert der Temperatur im Modell von 9,6 auf 6,8 °C, während sich der Median kaum ändert. In der Grafik lässt sich das mit der Schaltfläche „Fehlwerte“ ausprobieren. Auffällige Werte prüft man, bevor man rechnet, statt sie einfach zu löschen.

Die Streuung um den Mittelwert \bar x misst die Varianz s^2 und ihre Wurzel, die Standardabweichung s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2} Sie hat dieselbe Einheit wie die Messwerte. Bei einer Stichprobe teilt man durch n-1, weil die Abweichungen vom geschätzten Mittelwert im Mittel etwas kleiner ausfallen als die vom wahren; Tabellenkalkulationen unterscheiden beide Fälle (in Excel STABW.S und STABW.N). Der Variationskoeffizient s/\bar x vergleicht die Streuung unterschiedlich großer Größen. Er ist nur bei Größen mit natürlichem Nullpunkt sinnvoll, etwa bei Leistungen in kW, nicht bei Temperaturen in °C.

Ein Quantil x_p teilt die sortierten Werte so, dass der Anteil p darunter liegt. Die Quartile Q_1 und Q_3 gehören zu 25 und 75 %, ihr Abstand ist der Interquartilsabstand (IQR). Im Boxplot nach Tukey reichen die Antennen bis zum äußersten Wert, der höchstens 1,5 IQR vom Kasten entfernt ist; was weiter draußen liegt, wird einzeln gezeichnet. Für Quantile gibt es mehrere gebräuchliche Definitionen. Die Grafik interpoliert linear zwischen den sortierten Werten wie Excel mit QUANTIL.INKL und die Voreinstellungen von R und NumPy; bei kleinen Stichproben liefern andere Definitionen merklich andere Werte.

Sortiert man die Stundenwerte eines Jahres absteigend, entsteht die Dauerlinie. An der Stelle t steht der Wert, der in t Stunden des Jahres erreicht oder überschritten wurde; bei 4380 h steht der Median. Die Fläche unter der Dauerlinie ist dieselbe wie unter der Zeitreihe, bei einer Leistung also die Jahresenergie. Geteilt durch die Nennleistung ergibt sie die Volllaststunden: Im Modell erzeugt die 3-MW-Anlage 6198 MWh, das sind 2066 Volllaststunden. Lastgänge und Speicher behandelt Station 25.

Ein gleitender Mittelwert über k Werte glättet eine Zeitreihe: Mit 24 Stunden verschwindet der Tagesgang, mit 7 Tagen der Einfluss einzelner Wetterlagen, übrig bleibt der Jahresgang. Ein Mittel nur über zurückliegende Werte läuft dem Verlauf um etwa eine halbe Fensterbreite hinterher, ein zentriertes nicht. Den linearen Zusammenhang zweier Größen misst der Korrelationskoeffizient nach Pearson r=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2\sum(y_i-\bar y)^2}} mit Werten zwischen −1 und 1. Er erfasst nur lineare Zusammenhänge: Leistung und Windgeschwindigkeit hängen im Modell fest zusammen, trotzdem ist nur r=0,93.

Viele Auswertungen scheitern an den Daten selbst. Zeitstempel in Ortszeit enthalten wegen der Sommerzeit einen Tag mit 23 und einen mit 25 Stunden; Mittelwerte über Datenlücken sind verzerrt; Ersatzzahlen wie −999 für fehlende Werte müssen vor jeder Rechnung entfernt werden. Bewährt hat sich, zuerst Zeitreihe und Histogramm anzusehen und erst dann Kennzahlen zu berechnen.

Mittelwert und Standardabweichung reagieren stark auf einzelne extreme Werte: Ein einziger beliebig falscher Wert kann sie beliebig verschieben, ihr Bruchpunkt ist 0 %. Der Median verkraftet bis knapp zur Hälfte falsche Werte (Bruchpunkt 50 %). Das robuste Gegenstück zur Standardabweichung ist der MAD, der Median der absoluten Abweichungen vom Median. Mit dem Faktor 1,4826 multipliziert schätzt er bei normalverteilten Daten die Standardabweichung; ebenso gilt dort \sigma\approx\mathrm{IQR}/1,349. Einen Mittelweg bietet das getrimmte Mittel, das zum Beispiel die oberen und unteren 5 % der Werte weglässt.

Korrelation belegt keine Ursache. Im Modell korrelieren die Wochenmittel von Windleistung und Stromverbrauch des Bürogebäudes mit r=0,53, obwohl keine Größe die andere beeinflusst: Beide sind im Winter höher, der Wind wegen der Wetterlagen, der Verbrauch wegen der Wärmepumpe. Innerhalb eines Halbjahres verschwindet der Zusammenhang fast ganz. Eine solche gemeinsame Ursache heißt Störgröße. Hängen Größen monoton, aber nicht linear zusammen, misst die Rangkorrelation nach Spearman die Stärke besser; sie ist der Pearson-Koeffizient der Rangzahlen und beträgt für Windgeschwindigkeit und Leistung im Modell 0,996. Umgekehrt schließt r=0 einen Zusammenhang nicht aus, etwa bei einer U-förmigen Abhängigkeit.

Zeitreihen sind meist autokorreliert, benachbarte Werte ähneln sich. Die Autokorrelationsfunktion \rho_k ist die Korrelation der Reihe mit sich selbst, um k Schritte verschoben; Tages- und Wochenrhythmen erscheinen als Spitzen bei 24 und 168 Stunden. Für die Unsicherheit eines Mittelwerts zählen dann weniger unabhängige Werte, als vorliegen (Station 21). Statt eines Histogramms mit willkürlichen Klassengrenzen ersetzt die Kerndichteschätzung jeden Wert durch eine Glockenkurve der Breite h und addiert sie; gebräuchlich ist Silvermans Faustregel h=0,9\,\min(s, \mathrm{IQR}/1,34)\,n^{-1/5}.

Eine Wahrscheinlichkeit lässt sich als Anteil lesen. Sind von 1000 Teilen 20 defekt, ist ein zufällig gegriffenes Teil mit der Wahrscheinlichkeit 20/1000 = 2 % defekt. Dieser Anteil vor jeder Prüfung heißt Basisrate. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher), in Prozent zwischen 0 und 100 %.

Ein Prüfsystem macht zwei Arten von Fehlern: Es übersieht manche defekten Teile, und es meldet manche einwandfreien Teile (Fehlalarm). Wie gut es Defekte findet, gibt die Sensitivität an, zum Beispiel 95 %: Von 100 defekten Teilen meldet es 95. Wie gut es einwandfreie Teile durchlässt, gibt die Spezifität an, zum Beispiel 90 %: Von 100 einwandfreien Teilen meldet es 10 fälschlich.

Wie oft eine Meldung stimmt, rechnet man am sichersten mit natürlichen Häufigkeiten. Von 1000 Teilen sind 20 defekt, 19 davon meldet die Prüfung. Von den 980 einwandfreien Teilen meldet sie 98. Unter den 117 Meldungen sind also nur 19 echte Defekte, rund 16 %. Weil es viel mehr einwandfreie als defekte Teile gibt, überwiegen die Fehlalarme. Die Vierfeldertafel ordnet die vier Gruppen in einer Tabelle; das Baumdiagramm verzweigt erst nach dem Zustand des Teils, dann nach dem Prüfergebnis.

Mit Wahrscheinlichkeiten lässt sich auch die Zuverlässigkeit einer Anlage abschätzen. Braucht sie alle Bauteile (Reihenschaltung), multiplizieren sich die Zuverlässigkeiten: Zwei Bauteile, die je mit 90 % Wahrscheinlichkeit ein Jahr durchhalten, ergeben zusammen 81 %. Genügt eines von zweien (Parallelschaltung, Redundanz), fällt die Anlage nur aus, wenn beide ausfallen: 10 % mal 10 % = 1 %, die Zuverlässigkeit steigt auf 99 %. Das gilt, wenn die Bauteile unabhängig voneinander ausfallen. In der Grafik verändern Sie Basisrate, Sensitivität und Spezifität oder wählen die Ansicht Zuverlässigkeit.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B): Man betrachtet nur noch die Fälle, in denen B eingetreten ist. Mit D für „defekt“ und + für „Alarm“ ist die Sensitivität P(+\mid D), die Spezifität P(-\mid\bar D). Gesucht ist meist die umgekehrte Bedingung, der positive Vorhersagewert P(D\mid +). Ihn liefert der Satz von Bayes, dessen Nenner nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit alle Wege zu einem Alarm zusammenzählt: P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+)} P(+)=P(+\mid D)\,P(D)+P(+\mid\bar D)\,P(\bar D) Entsprechend ist der negative Vorhersagewert P(\bar D\mid -) der Anteil einwandfreier Teile unter den nicht gemeldeten.

Der Vorhersagewert hängt stark von der Basisrate P(D) ab, dem Anteil defekter Teile vor der Prüfung. Derselbe Test, der bei 2 % Defekten nur 16 % echte Alarme liefert, ergibt bei 50 % Defekten 90 %. In der Medizin ist das der Unterschied zwischen einer Reihenuntersuchung ohne Verdacht und der Abklärung bei Beschwerden. Technisch folgt daraus die zweistufige Prüfung: Eine schnelle, empfindliche Prüfung siebt vor, eine genauere prüft nur die Alarme nach. Verschiebt man die Schwelle eines Prüfgeräts, tauscht man Sensitivität gegen Spezifität; welche Fehler teurer sind, übersehene Defekte oder unnötige Nachprüfungen, entscheidet über die Einstellung.

Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn P(A\cap B)=P(A)\,P(B) gilt, gleichbedeutend P(A\mid B)=P(A). Nur dann gelten die einfachen Formeln der Zuverlässigkeitstechnik. Mit den Zuverlässigkeiten R_i, also den Wahrscheinlichkeiten, einen festgelegten Zeitraum ohne Ausfall zu überstehen, gilt R_\text{Reihe}=\prod_{i=1}^{n}R_i\qquad R_\text{parallel}=1-\prod_{i=1}^{n}(1-R_i) Bei der 2-von-3-Auswahl, etwa drei Temperaturfühlern, deren Mehrheit entscheidet, ist R_\mathrm{S}=R^3+3R^2(1-R) für gleiche Bauteile mit der Zuverlässigkeit R. Die Redundanz senkt die Ausfallwahrscheinlichkeit von q auf q^n, ein Reihensystem mit n Bauteilen fällt dagegen bei kleinem q etwa n-mal so oft aus wie ein Bauteil.

In der Praxis rechnet man mit Tabellen der vier Häufigkeiten, wie sie Prüfprotokolle liefern: Sensitivität = richtig positive / alle defekten, Spezifität = richtig negative / alle einwandfreien. Beide schätzt man an Teilen, deren Zustand anders gesichert ist, und sie gelten nur für vergleichbare Teile und Prüfbedingungen. Wie lange Bauteile überleben und wie man Zuverlässigkeiten über die Zeit beschreibt, behandelt Station 20.

In der Form mit Chancen (Odds) O=P/(1-P) wird der Satz von Bayes zur Multiplikation: O(D\mid +)=O(D)\cdot\mathrm{LR}_+ mit dem Likelihood-Quotienten \mathrm{LR}_+=P(+\mid D)/P(+\mid\bar D). Für die Prüfung der Grafik ist \mathrm{LR}_+=0,95/0,10=9,5: Ein Alarm erhöht die Chance auf einen Defekt um den Faktor 9,5. Folgen mehrere Prüfungen, die bei gegebenem Zustand unabhängig sind, multiplizieren sich ihre Quotienten. Genau diese Unabhängigkeit fehlt oft: Löst ein Merkmal des Teils den ersten Fehlalarm aus, löst es auch den zweiten aus. Allgemein heißt die Wahrscheinlichkeit vor den Daten A-priori-, nach den Daten A-posteriori-Wahrscheinlichkeit; der Satz von Bayes verbindet sie über die Likelihood, die Wahrscheinlichkeit der Daten unter jeder Hypothese.

Für eine unbekannte Ausfallwahrscheinlichkeit p eignet sich als A-priori-Verteilung die Beta-Verteilung \mathrm{Beta}(a, b) mit der Dichte proportional zu p^{a-1}(1-p)^{b-1}. Fallen von n Geräten k aus (binomialverteilt), ist die A-posteriori-Verteilung wieder eine Beta-Verteilung, \mathrm{Beta}(a+k, b+n-k), mit dem Mittelwert (a+k)/(a+b+n). Die Vorkenntnis wirkt wie a+b zusätzliche Beobachtungen. Auch null Ausfälle lassen eine positive Ausfallwahrscheinlichkeit zu: Mit gleichverteilter Vorkenntnis liegt die obere 95-%-Grenze nach n ausfallfreien Geräten bei 1-0,05^{1/(n+1)}\approx 3/n („Dreierregel“).

Redundanz hilft nur gegen unabhängige Ausfälle. Eine gemeinsame Ursache, etwa dieselbe Stromversorgung, ein Wartungsfehler an beiden Pumpen oder Wasser im Pumpenraum, setzt alle Kanäle zugleich außer Betrieb. Das β-Faktor-Modell nimmt an, dass ein Anteil \beta der Ausfälle eines Bauteils alle Bauteile zugleich trifft. Für zwei parallele Bauteile mit der Ausfallwahrscheinlichkeit q gilt dann Q\approx\beta q+\big((1-\beta)q\big)^2; bei kleinem q überwiegt der erste Term. Gegenmittel sind Diversität (verschiedene Bauarten), räumliche Trennung und getrennte Versorgung.

Misst man den Durchmesser vieler Wellen aus derselben Fertigung, erhält man nicht jedes Mal genau 20,00 mm, sondern Werte, die leicht streuen. Eine Größe, deren Wert erst die Messung zeigt, heißt Zufallsgröße. Ihre Verteilung gibt an, wie häufig welche Werte vorkommen. Trägt man sehr viele Messwerte als Histogramm auf und macht die Klassen immer schmaler, entsteht eine glatte Kurve, die Dichte. Die Wahrscheinlichkeit, einen Wert zwischen zwei Grenzen zu erhalten, ist die Fläche unter dieser Kurve; die gesamte Fläche ist 1, also 100 %.

Die wichtigste Verteilung ist die Normalverteilung mit ihrer Glockenform. Sie hat zwei Parameter: den Mittelwert \mu (gesprochen „mü“), bei dem die Glocke am höchsten ist, und die Standardabweichung \sigma („sigma“), die angibt, wie breit sie ist. Für jede Normalverteilung gilt die 68-95-99,7-Regel: Rund 68 % der Werte liegen höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, 95 % höchstens zwei und 99,7 % höchstens drei.

Damit lassen sich Toleranzen beurteilen. Liegen die Toleranzgrenzen drei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt, sind 99,73 % der Teile maßhaltig und 0,27 % Ausschuss. Verschiebt sich der Mittelwert der Fertigung um eine Standardabweichung, rückt eine Grenze auf zwei Standardabweichungen heran, und der Ausschuss steigt auf 2,3 %, mehr als das Achtfache. Entscheidend ist also der Abstand der Grenzen vom Mittelwert, gemessen in Standardabweichungen.

Nicht jede Größe ist symmetrisch verteilt. Windgeschwindigkeiten können nicht negativ werden, erreichen aber gelegentlich ein Mehrfaches ihres Mittelwerts; Lebensdauern von Bauteilen ebenso. In der Grafik verschieben Sie Mittelwert, Streuung und Toleranzgrenzen; die eingefärbten Flächen sind die Anteile. Die Ansicht „Wind und Ertrag“ zeigt, wie viele Stunden im Jahr der Wind wie stark weht und wie viel Energie eine Modellanlage daraus gewinnt.

Eine Zufallsgröße X ist diskret, wenn sie nur einzelne Werte annimmt, etwa die Zahl der Störungen, und stetig, wenn sie jeden Wert eines Intervalls annehmen kann, etwa ein Durchmesser. Eine stetige Größe beschreibt man mit ihrer Dichte f; Wahrscheinlichkeiten sind Integrale über die Dichte (Station 10). Die Verteilungsfunktion F(x)=P(X\le x) ist das Integral der Dichte bis x: P(a\lt X\le b)=\int_a^b f(x)\,\dd x=F(b)-F(a) Erwartungswert \mu=\E(X)=\int x\,f(x)\,\dd x und Varianz \sigma^2=\Var(X)=\E\big((X-\mu)^2\big) sind Schwerpunkt und mittleres Abweichungsquadrat der Verteilung (für Messdaten: Station 18).

Die Normalverteilung hat die Dichte f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\ee^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} Ihre Verteilungsfunktion \Phi der standardisierten Größe z=(x-\mu)/\sigma steht in Tabellen; Tabellenkalkulationen rechnen mit NORM.VERT(x;μ;σ;WAHR) (ebenso POISSON.VERT, WEIBULL.VERT), Python mit scipy.stats. Die Prozessfähigkeit C_p=(\mathrm{OSG}-\mathrm{USG})/(6\sigma) vergleicht die Toleranz zwischen unterer und oberer Spezifikationsgrenze USG und OSG mit der Streuung, C_{pk} den Abstand des Mittelwerts zur näheren Grenze mit 3\sigma. Bei C_p=1 und zentriertem Prozess liegen 0,27 % außerhalb, bei einer Toleranzbreite von 8\sigma (C_p\approx1,33) noch rund 63 Teile je Million (ppm).

Für Anzahlen gibt es zwei Standardmodelle. Die Binomialverteilung beschreibt die Zahl der Treffer in n unabhängigen Versuchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit p: P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}. Die Poisson-Verteilung zählt seltene, unabhängige Ereignisse in einem Zeitraum, etwa Störungen in einem Netzabschnitt: P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\,\ee^{-\lambda}. Erwartungswert und Varianz sind \lambda; für großes n und kleines p nähert sie die Binomialverteilung mit \lambda=np.

Lebensdauern beschreibt die Zuverlässigkeitstechnik mit der Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)=1-F(t). Fällt eine Einheit unabhängig von ihrem Alter mit gleicher Rate \lambda aus, ist die Lebensdauer exponentialverteilt: R(t)=\ee^{-\lambda t}, mittlere Lebensdauer 1/\lambda. Diese heißt bei nicht reparierbaren Einheiten MTTF (mean time to failure), bei reparierbaren MTBF; Ausfallraten elektronischer Bauteile gibt man oft in FIT an. Die mittlere Lebensdauer ist keine Mindestlebensdauer: Nur \ee^{-1}\approx37\,\% der Einheiten erreichen sie.

Die Weibull-Verteilung mit Formparameter k und charakteristischer Lebensdauer T erfasst auch steigende und fallende Ausfallraten: F(t)=1-\ee^{-(t/T)^k} Bei k\lt1 sinkt die Ausfallrate mit dem Alter (Frühausfälle), bei k=1 ist sie konstant (Exponentialverteilung), bei k\gt1 steigt sie (Verschleiß). Dieselbe Verteilung beschreibt Windgeschwindigkeiten; oft nimmt man k=2 an (Rayleigh-Verteilung), aus Reanalysedaten (aus Messungen und Wettermodellen rekonstruierte Wetterdaten) ermittelte Werte liegen je nach Ort etwa zwischen 1 und 4.

Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum die Normalverteilung so häufig ist: Die Summe vieler unabhängiger Zufallsgrößen mit endlicher Varianz ist näherungsweise normalverteilt, gleich wie die einzelnen verteilt sind; der Mittelwert von n Werten streut mit \sigma/\sqrt n (Station 21). Wirken die Einflüsse multiplikativ, ist der Logarithmus eine Summe, und die Größe folgt der Lognormalverteilung: \ln X ist normalverteilt, der Median von X ist \ee^{\mu}, der Erwartungswert \ee^{\mu+\sigma^2/2}. Beispiele sind Partikelgrößen und Reparaturdauern.

Allgemein ist die Ausfallrate \lambda(t)=f(t)/R(t) die Wahrscheinlichkeit je Zeiteinheit, dass eine bis t intakte Einheit ausfällt; umgekehrt gilt R(t)=\exp\big(-\int_0^t\lambda(u)\,\dd u\big). Für die Weibull-Verteilung ist \lambda(t)=\frac kT\big(\frac tT\big)^{k-1}, die Momente sind \E(X^n)=T^n\,\Gamma\big(1+\frac nk\big) mit der Gammafunktion \Gamma. Mit y=\ln\big(-\ln(1-F)\big) und x=\ln t wird die Verteilungsfunktion zur Geraden y=k\,x-k\ln T; im Weibull-Plot schätzt deshalb die Steigung der Ausgleichsgeraden durch die Ausfallzeiten den Formparameter (Station 22 und Vertiefungsmodul unten). Sind noch nicht alle Einheiten ausgefallen (zensierte Daten), ist die Maximum-Likelihood-Schätzung vorzuziehen.

Der Energieertrag einer Windenergieanlage ist ein Erwartungswert: \bar P=\int_0^\infty P(v)\,f(v)\,\dd v mit Leistungskurve P(v) und Dichte f(v) der Windgeschwindigkeit; die Volllaststunden sind 8760\unit{h}\cdot\bar P/P_\mathrm{N} mit der Nennleistung P_\mathrm{N} (Station 25). Weil die Leistung unterhalb der Nennleistung etwa mit v^3 wächst, liegt \bar P an üblichen Standorten deutlich über P(\bar v); für die Rayleigh-Verteilung gilt \E(v^3)=\frac6\pi\,\bar v^3\approx1,91\,\bar v^3. Die mittlere Windgeschwindigkeit allein genügt deshalb nicht: Nach Zhou und Smith (2013) überschätzt die pauschale Annahme k=2 die Windleistung über Land weltweit im Mittel um 6 %, örtlich reicht der Fehler von −20 % bis +30 % (5- und 95-%-Quantil).

Die Zugfestigkeit eines Stahls prüft man, indem man Proben bis zum Bruch belastet. Eine ganze Lieferung so zu prüfen ist unmöglich, danach wäre sie zerstört. Man prüft deshalb eine Stichprobe, etwa zehn Proben, und schließt von ihr auf die Grundgesamtheit, die ganze Lieferung. Der Mittelwert der Stichprobe ist ein Schätzwert für den unbekannten wahren Mittelwert.

Eine zweite Stichprobe aus derselben Lieferung ergibt einen etwas anderen Mittelwert: Schätzwerte schwanken. Wie stark, hängt von der Streuung der Einzelwerte und von der Zahl der Messungen ab. Die Schwankung des Mittelwerts ist die Standardabweichung s der Einzelwerte geteilt durch die Wurzel aus der Zahl n der Messungen, s/\sqrt n; sie heißt Standardfehler. Viermal so viele Messungen halbieren ihn, hundertmal so viele verkleinern ihn auf ein Zehntel.

Ein Konfidenzintervall gibt an, wie genau der Mittelwert bekannt ist. Das übliche 95-%-Intervall reicht bei nicht zu kleinen Stichproben etwa zwei Standardfehler um den Mittelwert, also \bar x\pm2\,s/\sqrt n, wobei \bar x („x quer“) den Mittelwert bezeichnet. Das Verfahren ist so gebaut, dass 95 von 100 so berechneten Intervallen den wahren Wert enthalten. Ob ein bestimmtes Intervall dazugehört, weiß man nicht.

In der Grafik zieht der Rechner aus einer bekannten Modellverteilung immer neue Stichproben und zeichnet für jede das Intervall. Rot gestrichelte Intervalle verfehlen den wahren Wert. Mit größerem n werden die Intervalle kürzer, der Anteil der Treffer bleibt bei etwa 95 %. Ein höheres Konfidenzniveau verlängert die Intervalle.

Aus n Messwerten x_1,\dots,x_n schätzt man den Erwartungswert \mu durch den Mittelwert \bar x und die Standardabweichung \sigma durch s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2} (Station 18). Der Standardfehler s/\sqrt n ist die geschätzte Standardabweichung von \bar x; in der Messtechnik heißt er Standardunsicherheit nach Typ A (Station 3). Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist \bar x für nicht zu kleine n näherungsweise normalverteilt (Station 20).

Weil auch s nur geschätzt ist, folgt T=(\bar x-\mu)/(s/\sqrt n) bei normalverteilten Messwerten der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Das Konfidenzintervall zum Niveau 1-\alpha ist \bar x\pm t_{n-1;\,1-\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt n} Für n=10 und 95 % ist t_{9;\,0,975}=2,262 statt 1,96 bei bekanntem \sigma; ab etwa 30 Werten ist der Unterschied gering. Die Tabellenkalkulation liefert das Quantil mit T.INV(0,975;9), Python mit scipy.stats.t.ppf(0.975, 9).

Ein Hypothesentest prüft, ob die Daten mit einer Annahme vereinbar sind. Die Nullhypothese H_0 lautet etwa: Der Mittelwert ist gleich dem Sollwert \mu_0. Man berechnet die Teststatistik t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n) und den p-Wert, die Wahrscheinlichkeit, unter H_0 eine Teststatistik zu erhalten, die mindestens so weit von null abweicht wie die beobachtete. Ist p kleiner als das vorher festgelegte Signifikanzniveau \alpha, meist 5 %, verwirft man H_0. Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H_0 stimmt, und er misst nicht die Größe eines Effekts (Erklärung der American Statistical Association 2016).

Zwei Fehlentscheidungen sind möglich: Der Fehler 1. Art verwirft eine richtige Nullhypothese (Fehlalarm, Wahrscheinlichkeit \alpha), der Fehler 2. Art behält eine falsche bei (übersehener Effekt, Wahrscheinlichkeit \beta). Die Wahrscheinlichkeit 1-\beta, einen vorhandenen Effekt zu entdecken, heißt Teststärke. „Nicht signifikant“ bedeutet deshalb oft nur „zu wenige Daten“. Umgekehrt wird bei sehr großen Stichproben auch ein technisch bedeutungsloser Unterschied signifikant. Aussagekräftiger als der p-Wert allein ist das Konfidenzintervall für den Unterschied.

Zwei Verfahren vergleicht man mit dem Zweistichproben-t-Test, bei ungleichen Streuungen in der Form nach Welch: t=(\bar x_1-\bar x_2)/\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}. Messen beide Verfahren dieselben Proben, etwa zwei Messgeräte am selben Prüfling, testet man die Differenzen je Probe (gepaarter t-Test); das ist deutlich empfindlicher, weil die Streuung zwischen den Proben herausfällt.

Den Stichprobenumfang plant man vor der Messung. Soll eine Abweichung \delta bei der Streuung \sigma mit dem Niveau \alpha und der Teststärke 1-\beta erkannt werden, gilt für den zweiseitigen Test näherungsweise n\approx\Big(\frac{(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta})\,\sigma}{\delta}\Big)^2 Für \delta/\sigma=0,5, \alpha=5\,\% und 80 % Teststärke ergibt das n\approx31,4; die exakte Rechnung mit der nichtzentralen t-Verteilung verlangt n=34. Halb so große Effekte brauchen viermal so viele Messungen.

Wer viele Hypothesen prüft, findet zufällig Signifikantes: Bei 20 unabhängigen Tests mit \alpha=5\,\% und lauter wahren Nullhypothesen ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehlalarm 1-0,95^{20}\approx64\,\%. Die Bonferroni-Korrektur testet jede der m Hypothesen mit \alpha/m und hält so die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen Fehlalarm unter \alpha. Auswertung, Ausreißerregel oder Teilmenge erst nach einem Blick auf die Ergebnisse so zu wählen, dass p\lt0,05 herauskommt, ist unzulässig (p-Hacking).

Für Kennzahlen ohne einfache Formel für den Standardfehler, etwa Median oder Quotienten, hilft der Bootstrap: Man zieht aus der Stichprobe viele Stichproben gleichen Umfangs mit Zurücklegen, berechnet jedes Mal die Kennzahl und nimmt deren 2,5- und 97,5-%-Quantil als Intervall. Für Anteile \hat p=k/n versagt das einfache Intervall \hat p\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n} bei kleinem n oder \hat p nahe 0 oder 1; empfohlen wird unter anderem das Wilson-Intervall (Brown, Cai und DasGupta 2001). Bei null Ausfällen in n Versuchen liegt die obere einseitige 95-%-Grenze bei etwa 3/n („Dreierregel“).

Misst man, wie viel Wärme ein Haus in einer Woche verbraucht, und trägt diesen Verbrauch über der mittleren Außentemperatur der Woche auf, liegen die Punkte nicht genau auf einer Geraden: Sonne, Wind und das Verhalten der Bewohner lassen sie streuen. Eine Ausgleichsgerade fasst den Zusammenhang trotzdem in zwei Zahlen, Steigung und Achsenabschnitt. Der senkrecht, also in y-Richtung gemessene Abstand eines Messpunkts von der Geraden heißt Residuum; liegt der Punkt darüber, ist es positiv, darunter negativ.

Als beste Gerade gilt die, bei der die Summe der quadrierten Residuen am kleinsten ist. Die Residuen selbst zu addieren hilft nicht, weil sich positive und negative aufheben: Für jede Gerade durch den Schwerpunkt der Punkte ist ihre Summe null. Quadrate sind dagegen stets positiv, große Abweichungen zählen stärker, und es gibt genau eine beste Gerade. Sie geht durch den Schwerpunkt (\bar x\mid\bar y) der Punktwolke, also durch den Punkt, dessen Koordinaten die Mittelwerte der x- und der y-Werte sind.

Die Steigung hat eine Bedeutung: Beim Modellhaus der Grafik steigt der Wochenverbrauch um gut 40 kWh, wenn es draußen ein Kelvin kälter ist. Wo die Gerade die Achse erreicht, braucht das Haus keine Heizung mehr; das ist die Heizgrenze. Jenseits davon gilt die Gerade nicht, bei 20 °C sagt sie einen negativen Verbrauch voraus. Vorhersagen sind nur innerhalb des gemessenen Bereichs verlässlich; das Weiterrechnen darüber hinaus heißt Extrapolation.

In der Grafik verschieben Sie einzelne Punkte mit der Maus oder dem Finger und stellen eine eigene Gerade ein; keine erreicht eine kleinere Quadratsumme als die Ausgleichsgerade. Die Ansicht „Modellwahl“ zeigt die Gefahr zu komplizierter Modelle, die Überanpassung: Eine Kurve mit vielen Parametern trifft die Messpunkte immer besser, sagt neue Messungen aber schlechter voraus, weil sie dem Zufall folgt.

Für n Wertepaare (x_i, y_i) sucht die Methode der kleinsten Quadrate die Gerade y=b_0+b_1x, die S=\sum_{i=1}^n(y_i-b_0-b_1x_i)^2 minimiert. Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach b_0 und b_1 ergibt b_1=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}b_0=\bar y-b_1\,\bar x Die Steigung trägt die Einheit von y je Einheit von x. Tabellenkalkulationen liefern beides mit STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT, zusammen mit Standardfehlern mit RGP; in Python numpy.polyfit oder scipy.stats.linregress.

Das Bestimmtheitsmaß R^2=1-\sum r_i^2\big/\sum(y_i-\bar y)^2 gibt an, welcher Anteil der Streuung von y durch das Modell erklärt wird; bei der Geraden ist es das Quadrat des Korrelationskoeffizienten (Station 18). Ein hohes R^2 beweist nicht, dass das Modell stimmt. Deshalb trägt man die Residuen r_i=y_i-\hat y_i über x auf: Sie sollen ohne Muster um null streuen. Ein Bogen zeigt eine nicht erfasste Krümmung, ein Trichter eine mit x wachsende Streuung, ein einzelner weit entfernter Punkt einen Ausreißer.

Viele nichtlineare Zusammenhänge werden durch Logarithmieren linear: Aus y=a\,\ee^{bx} wird \ln y=\ln a+b\,x (Station 7), aus y=a\,x^b wird \ln y=\ln a+b\ln x (Station 6). Die Gerade passt man an die umgerechneten Werte an und minimiert damit relative statt absolute Abweichungen.

Ein Beispiel aus der Gebäudetechnik ist die Energiesignatur: Der Wärmeverbrauch je Woche, aufgetragen über der mittleren Außentemperatur, liegt bei funktionierender Heizung nahe einer Geraden. Die Steigung ist der Mehrverbrauch je Kelvin und hängt vom Wärmeverlust des Gebäudes ab, der Schnitt mit der Achse ist die Heizgrenze. Statt über der Temperatur trägt man den Verbrauch auch über der Gradtagzahl auf. Mit der Signatur rechnet man Verbräuche auf ein durchschnittliches Jahr um und erkennt Änderungen: Nach einer Dämmung verläuft sie flacher.

Ebenso entstehen Kalibrierkurven: Man misst das Signal eines Analysegeräts für Proben bekannter Konzentration, passt eine Gerade an und rechnet für eine unbekannte Probe vom Signal auf die Konzentration zurück. Für die Wasseranalytik beschreibt ISO 8466-1 (Ausgabe 2021) dieses Vorgehen einschließlich der Prüfung, ob der Zusammenhang im Arbeitsbereich linear ist.

In Matrixform lautet das Modell \mathbf y=X\boldsymbol\beta+\boldsymbol\varepsilon mit der Versuchsmatrix X, deren Spalten 1, x, x^2, \dots oder weitere Einflussgrößen sind. Das Minimum von \|\mathbf y-X\boldsymbol\beta\|^2 erfüllt die Normalgleichungen X^\mathsf{T}X\,\hat{\boldsymbol\beta}=X^\mathsf{T}\mathbf y (Station 15). Numerisch stabiler sind die QR-Zerlegung von X in eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreiecksmatrix R oder die Singulärwertzerlegung, weil das Produkt X^\mathsf{T}X die Konditionszahl quadriert; numpy.linalg.lstsq nutzt die Singulärwertzerlegung. Sind die Fehler unkorreliert, haben den Mittelwert null und gleiche Varianz, hat \hat{\boldsymbol\beta} unter allen linearen, unverzerrten Schätzern die kleinste Varianz (Satz von Gauß-Markow).

Die Unsicherheit der Parameter folgt aus \operatorname{Cov}(\hat{\boldsymbol\beta})=\sigma^2(X^\mathsf{T}X)^{-1}, geschätzt mit s^2=\sum r_i^2/(n-p) bei p Parametern. Für die Steigung der Geraden ist der Standardfehler s/\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2}. Das Konfidenzband für den Mittelwert der Vorhersage an der Stelle x_0 hat die halbe Breite t_{n-2}\,s\,\sqrt{\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}} Das Vorhersageband für eine einzelne neue Messung hat unter der Wurzel zusätzlich den Summanden 1. Beide weiten sich mit dem Abstand von \bar x: Extrapolation ist auch statistisch unsicher.

Mit jedem weiteren Parameter sinkt die Quadratsumme auf den Messdaten, bis ein Polynom vom Grad n-1 alle Punkte trifft. Über die Güte für neue Daten sagt das nichts. Man prüft deshalb mit Daten, die nicht zur Anpassung dienten, oder mit Kreuzvalidierung, und wählt das Modell mit dem kleinsten Vorhersagefehler, bei fast gleichem Fehler das einfachere. Punkte mit extremem x haben großen Einfluss (Hebelwirkung, Diagonale der Matrix X(X^\mathsf{T}X)^{-1}X^\mathsf{T}); liegen sie zudem neben dem Trend, verdrehen sie die Gerade. Sind auch die x-Werte fehlerbehaftet, schätzt die gewöhnliche Regression die Steigung zu flach; dann helfen orthogonale oder Deming-Regression.

Wer Geld verleiht, erhält dafür einen Zins, angegeben in Prozent pro Jahr. Bleiben die Zinsen auf dem Konto stehen, werden sie im nächsten Jahr mitverzinst. Das ist der Zinseszins: Das Guthaben wird jedes Jahr mit demselben Zinsfaktor q=1+i multipliziert. Aus 1 000 € werden bei 4 % nach einem Jahr 1 040 €, nach zwei Jahren 1 081,60 € und nach zehn Jahren 1 480,24 €. Ohne Zinseszins wären es nach zehn Jahren 1 400 €.

Allgemein gilt K_n=K_0\cdot q^n: Das Anfangskapital K_0 wird n-mal mit dem Zinsfaktor multipliziert, K_n ist der Endwert nach n Jahren. Wie lange es dauert, bis sich ein Betrag verdoppelt, schätzt die 70er-Regel: Verdopplungszeit in Jahren ungefähr 70 geteilt durch den Zinssatz in Prozent. Bei 4 % sind das 17,5 Jahre, genau gerechnet 17,7 Jahre. Die Regel folgt aus dem Logarithmus (Station 7).

Die Rechnung lässt sich umdrehen: Um den Betrag zu finden, der heute angelegt in n Jahren auf K_n anwächst, teilt man durch den Zinsfaktor, statt zu multiplizieren, K_0=K_n/q^n. Dieses Abzinsen ergibt den Barwert, den heutigen Wert einer späteren Zahlung. 10 000 € in zehn Jahren sind bei 4 % heute 6 755,64 € wert. Erst nach dem Abzinsen lassen sich Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten vergleichen und addieren.

Ein Ratenkredit, genauer ein Annuitätendarlehen, wird in gleichen Jahresraten zurückgezahlt. Jede Rate enthält die Zinsen auf die Restschuld und einen Tilgungsanteil, der die Schuld verringert. Weil die Restschuld sinkt, schrumpft der Zinsanteil von Jahr zu Jahr, und der Tilgungsanteil wächst. Ein Kredit über 10 000 € mit 4 % Zins und zehn Jahren Laufzeit kostet 1 232,91 € im Jahr, zusammen 2 329,09 € Zinsen.

Eine Zahlungsreihe Z_1, Z_2, \dots, Z_n, jeweils am Ende des Jahres t fällig (nachschüssig), hat beim Kalkulationszinssatz i den Barwert B=\sum_{t=1}^{n} Z_t\,q^{-t},\qquad q=1+i Der Faktor q^{-t} heißt Abzinsungsfaktor. Der Kalkulationszinssatz steht für die Kosten des Geldes: den Kreditzins oder die Rendite, die mit dem Geld anderswo zu erzielen wäre. Wer Zahlungen ohne Abzinsen addiert, rechnet stillschweigend mit i=0.

Sind alle Zahlungen gleich, Z_t=Z, ist die Summe eine geometrische Reihe. Ihr Wert ist B=Z\cdot\mathrm{RBF} mit dem Rentenbarwertfaktor \mathrm{RBF}=\frac{q^n-1}{q^n\,(q-1)} Der Kehrwert ist der Annuitätenfaktor a=\frac{q^n\,(q-1)}{q^n-1} Er verteilt einen Betrag K_0 auf n gleiche Jahresraten A=K_0\cdot a, die zusammen denselben Barwert haben. So werden Investitionen in Jahreskosten umgerechnet, die Grundlage der Stromgestehungskosten in Station 24. In Tabellenkalkulationen heißen die Funktionen RMZ (Rate), BW (Barwert) und ZW (Endwert); Vorsicht bei NBW: Es zinst schon den ersten Wert der Reihe um ein Jahr ab.

Im Tilgungsplan eines Annuitätendarlehens ist der Zins im Jahr t der Zinssatz mal Restschuld am Jahresanfang, \mathrm{Zins}_t=i\cdot R_{t-1}. Die Tilgung ist der Rest der Rate, T_t=A-\mathrm{Zins}_t, und die neue Restschuld R_t=R_{t-1}-T_t. Daraus folgt T_{t+1}=q\cdot T_t: Die Tilgung wächst mit dem Zinsfaktor. Bei einem Kredit über 10 000 € mit 4 % und zehn Jahren sind es im ersten Jahr 400 € Zins und 832,91 € Tilgung.

Zinssätze am Markt sind nominal. Steigen die Preise mit der Inflationsrate \pi, gilt für den realen Zins die Fisher-Gleichung 1+i_\text{nom}=(1+i_\text{real})(1+\pi), näherungsweise i_\text{real}\approx i_\text{nom}-\pi. Der Verbraucherpreisindex stieg in Deutschland 2022 um 6,9 %, 2023 um 5,9 % sowie 2024 und 2025 um je 2,2 % (Destatis). Bei 3 % nominal und 2,2 % Inflation bleiben real 0,78 %. Wichtig ist die Konsequenz: nominale Zahlungen mit dem nominalen Zins abzinsen, reale Zahlungen in Preisen von heute mit dem realen.

Wird unterjährig verzinst, etwa monatlich mit i/12, wächst ein Betrag in einem Jahr um den Faktor (1+i/12)^{12}. Aus 6 % nominal werden so 6,17 % effektiver Jahreszins. Im Grenzfall stetiger Verzinsung mit der Rate r ist K(t)=K_0\,\ee^{rt}; 6 % stetig entsprechen 6,18 % pro Jahr. Umgekehrt gehört zum Jahreszins i die stetige Rate r=\ln(1+i).

Für eine Investition mit der Auszahlung I heute und Rückflüssen Z_t ist der Kapitalwert eine Funktion des Zinssatzes, C(i)=-I+\sum_t Z_t\,(1+i)^{-t}. Für die übliche Folge aus einer Auszahlung und danach nur Rückflüssen fällt C streng monoton und ist konvex; die einzige Nullstelle ist der interne Zinsfuß. Er lässt sich nicht nach i auflösen und wird numerisch bestimmt, etwa mit dem Newton-Verfahren (Station 11): Wegen der Konvexität nähern sich die Iterierten von einem Startwert links der Nullstelle monoton von unten. Auch der effektive Jahreszins eines Verbraucherkredits ist so definiert: Die Anlage zu § 16 der Preisangabenverordnung verlangt den Zinssatz, bei dem die Barwerte der Auszahlungen und der Rückzahlungen gleich sind.

Fließt ein Zahlungsstrom stetig mit der Rate c(t) in €/a, wird die Summe zum Integral (Station 10): B=\int_0^T c(t)\,\ee^{-rt}\,\dd t, für konstantes c also B=c\,(1-\ee^{-rT})/r und für T\to\infty die ewige Rente c/r. Wachsen Zahlungen jährlich um den Faktor r_p, etwa mit steigenden Energiepreisen, bleibt die Reihe geometrisch mit dem Quotienten r_p/q: \sum_{t=1}^{T} A\,r_p^{\,t-1}q^{-t}=A\,\frac{1-(r_p/q)^T}{q-r_p} Die Richtlinie VDI 2067 Blatt 1 (Ausgabe 2012-09) nennt diesen Faktor preisdynamischen Barwertfaktor. Hängt der Marktzins von der Laufzeit ab (Zinsstruktur), erhält jedes Jahr seinen eigenen Diskontfaktor d_t=(1+s_t)^{-t} mit dem Zinssatz s_t für genau t Jahre.

Über Jahrzehnte und Jahrhunderte entscheidet der Diskontsatz fast allein über das Ergebnis. Die Ramsey-Regel zerlegt ihn in r=\delta+\eta\,g: reine Zeitpräferenz \delta, Elastizität des Grenznutzens \eta und Wachstum des Konsums g. Der Stern-Report rechnete mit \delta=0,1\,\%, \eta=1, g=1,3\,\%, also r=1,4\,\%; marktnähere Werte wie \delta=2\,\%, \eta=2, g=2\,\% ergeben 6 % (Weitzman 2007). Ein Schaden von 1 Mio. € in 100 Jahren hat damit heute einen Wert von rund 249 000 € beziehungsweise 2 900 €. Das Umweltbundesamt beziffert die Klimakosten einer 2025 emittierten Tonne CO₂ mit 345 € bei 1 % reiner Zeitpräferenz und mit 990 € bei 0 % (Preisbasis 2025, Methodenkonvention 4.0); die Wahl zwischen beiden ist eine Wertentscheidung, deshalb weist es beide aus. Das britische Finanzministerium rechnet bislang mit 3,5 % real und für Zeiträume über 30 Jahre mit niedrigeren Sätzen; eine unabhängige Überprüfung hat im Juni 2026 für bis zu 30 Jahre 3 % empfohlen, und die Regierung hat im September 2026 die Senkung auf 3 % angekündigt (Stand Oktober 2026 eine Ankündigung; weitere Änderungen am Green Book will sie mit dem Haushalt Ende Oktober 2026 vorstellen).

Eine Anlage kostet zuerst Geld, die Investition, und danach jedes Jahr Betriebskosten für Wartung, Versicherung und gegebenenfalls Brennstoff. Dem stehen Erlöse aus verkauftem Strom oder Einsparungen gegenüber. Die einfachste Bewertung ist die statische Amortisationszeit: Investition geteilt durch den jährlichen Überschuss. Eine drehzahlgeregelte Pumpe, die 6 000 € mehr kostet und 1 500 € Strom im Jahr spart, hat sich nach vier Jahren bezahlt gemacht (Modellzahlen). Zinsen und alles, was nach diesen vier Jahren geschieht, bleiben dabei unberücksichtigt.

Was eine Kilowattstunde aus einer Anlage kostet, ergibt sich aus Jahreskosten geteilt durch Jahresenergie: k=\frac{\text{Jahreskosten}}{\text{Jahresenergie}} Die Jahreskosten bestehen aus den Kapitalkosten, also der auf die Nutzungsdauer verteilten Investition mit Zinsen (Annuität, Station 23), und den Betriebskosten. Die Jahresenergie ist die Leistung mal die Volllaststunden: so viele Stunden müsste die Anlage mit voller Leistung laufen, um ihre Jahresenergie zu erzeugen. Diese Kosten je Kilowattstunde über die ganze Lebensdauer heißen Stromgestehungskosten.

Bei Wind- und Solaranlagen überwiegen die Kapitalkosten; entscheidend sind Investition, Zinssatz und Volllaststunden. Ein sonniger oder windreicher Standort senkt die Kosten je Kilowattstunde, weil sich dieselbe Investition auf mehr Energie verteilt. Bei einem Gaskraftwerk machen dagegen Brennstoff und CO₂-Zertifikate den größten Teil aus.

Das Fraunhofer ISE nennt für Anlagen, die 2024 gebaut werden, in realen Preisen von 2024 folgende Stromgestehungskosten: PV-Freiflächenanlagen 4,1–6,9 ct/kWh, Windenergie an Land 4,3–9,2 ct/kWh, Gas-und-Dampf-Kraftwerke 10,9–18,1 ct/kWh. Die Spannen kommen von Standort, Investition und, beim Gas, den Brennstoff- und CO₂-Preisen. Nicht enthalten sind die Kosten für Netze, Speicher und Reservekraftwerke, die nötig werden, weil Sonne und Wind nicht nach Bedarf liefern.

Die Kapitalwertmethode zinst alle Zahlungen auf heute ab (Station 23): C_0=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{E_t-A_t}{q^t} mit der Investition I_0, den Einzahlungen E_t, den Auszahlungen A_t im Jahr t und q=1+i. Ist C_0\gt0, verdient die Anlage mehr als den Kalkulationszinssatz. Die dynamische Amortisationszeit ist das erste Jahr, in dem die abgezinsten Überschüsse die Investition decken; sie ist immer länger als die statische. Der Zinssatz, bei dem C_0=0 wird, ist der interne Zinsfuß.

Die Stromgestehungskosten (LCOE, levelized cost of electricity) sind der Barwert aller Kosten geteilt durch den Barwert der erzeugten Energie M_t: \mathrm{LCOE}=\frac{I_0+\sum_{t=1}^{n}A_t\,q^{-t}}{\sum_{t=1}^{n}M_t\,q^{-t}} Auch die Energie wird abgezinst. So ist die LCOE genau der gleichbleibende Preis, bei dem der Kapitalwert null wird. Sind alle Jahreswerte gleich, vereinfacht sich die Formel mit dem Annuitätenfaktor a je Kilowatt Leistung zu \mathrm{LCOE}=\frac{I_0\,a+A_\text{fix}}{h_\text{V}}+k_\text{var} mit der Investition I_0 in €/kW, den festen Betriebskosten A_\text{fix} in €/(kW·a), den Volllaststunden h_\text{V} in h/a und den Kosten k_\text{var} je erzeugter Kilowattstunde.

Beim Gaskraftwerk gehören zu k_\text{var} Brennstoff und CO₂: k_\text{Br}=p_\text{Gas}/\eta und k_{\mathrm{CO_2}}=p_{\mathrm{CO_2}}\,e/\eta mit dem elektrischen Wirkungsgrad \eta und dem Emissionsfaktor e. Für Erdgas nennen die IPCC-Leitlinien 2006 als Standardwert 56,1 t CO₂ je Terajoule, das sind 0,202 t je Megawattstunde Heizwert. Bei 38 €/MWh Gas und 60 % Wirkungsgrad kostet allein der Brennstoff 6,3 ct/kWh, bei 80 €/t CO₂ kommen 2,7 ct/kWh hinzu.

Welche Eingangsgröße wie stark wirkt, zeigt eine Sensitivitätsanalyse: jede Größe einzeln über ihre Spanne variieren, die anderen festhalten, die Ergebnisse als Tornado-Diagramm sortieren. Analytisch gilt \partial\,\mathrm{LCOE}/\partial h_\text{V}=-(I_0\,a+A_\text{fix})/h_\text{V}^2: Ein Prozent mehr Volllaststunden senkt die LCOE näherungsweise um den Festkostenanteil mal ein Prozent, bei 80 % festen Kosten also um 0,8 %. In der Tabellenkalkulation rechnet man eine Spalte je Jahr und nutzt eine Datentabelle (Mehrfachoperation) für die Varianten.

Die Fraunhofer-ISE-Studie vom Juli 2024 rechnet real mit Preisen von 2024 und technologiespezifischen Kapitalkosten (WACC): real 3,5 % für PV-Freiflächen, 3,9 % für Wind an Land, 6,4 % für Gas-und-Dampf-Kraftwerke (GuD), bei 1,8 % angenommener Inflation. Die Investitionen setzt sie mit 700–900 €/kWp, 1 300–1 900 €/kW und 900–1 300 €/kW an, die Volllaststunden mit 935–1 280 h (PV, Nord- bis Süddeutschland), 1 800–3 200 h (Wind) und 3 000–6 300 h (GuD). Andere Studien kommen mit anderen Zinssätzen, Bezugsjahren und Preispfaden zu anderen Zahlen; die Internationale Energieagentur (IEA) und die Kernenergieagentur der OECD (NEA) rechnen in ihrer gemeinsamen Studie von 2020 etwa mit einheitlichen Diskontsätzen von 3, 7 und 10 %. Vergleichbar sind Werte nur bei gleicher Methode.

Die LCOE bewerten jede Kilowattstunde gleich, egal wann sie erzeugt wird. Am Markt ist das nicht so. Der Marktwert, den die Übertragungsnetzbetreiber nach Anlage 1 des EEG berechnen, ist ein mengengewichteter Mittelwert (Station 4): Viertelstundenpreise, gewichtet mit der Erzeugung der jeweiligen Technik. 2025 betrug er für Solarstrom 4,508 ct/kWh, für Wind an Land 7,441 ct/kWh, bei einem Jahresmittel des Börsenpreises von 8,932 ct/kWh. Solarstrom war also nur etwa halb so viel wert wie der Durchschnitt (Wertfaktor 0,50), weil viele Anlagen gleichzeitig einspeisen und die Preise in diesen Stunden senken. Die IEA ergänzt deshalb die wertbereinigten Kosten (VALCOE, englisch value-adjusted levelized cost of electricity): Zu den LCOE wird addiert, um wie viel Energie-, Kapazitäts- und Flexibilitätswert einer Technik unter dem Systemdurchschnitt liegen.

Umstritten ist, wie groß die Systemkosten fluktuierender Erzeugung sind: Profilkosten für Reserve in Stunden ohne Wind und Sonne, Ausgleichskosten für Prognosefehler, Netzanschluss und Netzausbau. Die OECD-Kernenergieagentur NEA weist in ihren Modellrechnungen (2019) bei hohen Anteilen von Wind und Sonne erhebliche Systemkosten aus. Die Literaturauswertung von Heptonstall und Gross (2021) findet bei niedrigen Anteilen geringe, teils negative Integrationskosten und bei hohen Anteilen eine breite Spanne, die vor allem von der Flexibilität des übrigen Systems abhängt. Das Ergebnis hängt auch davon ab, womit verglichen wird: Systemkosten sind Differenzen zwischen Szenarien und nur mit einem Energiesystemmodell sauber zu bestimmen. Ähnlich bei der Kernkraft: Fraunhofer ISE nennt für Neubauten 13,6–49,0 ct/kWh ohne Endlagerkosten bei 7,8 % realem WACC; IEA und NEA fanden 2020, dass neue Kernkraftwerke bei 3 % Diskontsatz günstiger als neue Kohle- und Gaskraftwerke sind, bei 7 oder 10 % teurer. Wer Zahlen vergleicht, sollte Systemgrenze, Zeitraum, Zinssatz und Kostenbegriff nennen.

Real oder nominal: Die Studie rechnet real; ein über 30 Jahre konstanter nominaler Preis, der denselben Kapitalwert ergibt, liegt bei 3,5 % real und 1,8 % Inflation um den Faktor 1,25 höher. PV-Module verlieren mit der Zeit an Leistung (Degradation, in der Studie 0,25 % pro Jahr); im Nenner steht dann M_t=M_1(1-d)^{t-1}. Eine Falle beim Gas: Großhandelspreise beziehen sich häufig auf den Brennwert, Wirkungsgrade meist auf den Heizwert. Bei Methan ist der Brennwert um 11 % größer (Verbrennungsenthalpie 890,7 kJ/mol mit flüssigem Wasser, rund 803 kJ/mol mit Wasserdampf), und um diesen Anteil verschätzt man die Brennstoffkosten, wenn man beides mischt. Unsicherheiten aller Eingangsgrößen zugleich erfasst eine Monte-Carlo-Rechnung (Vertiefungsmodul).

Leistung sagt, wie schnell Energie umgesetzt wird, gemessen in Watt oder Kilowatt. Energie ist Leistung mal Zeit, gemessen in Kilowattstunden. Ein Wasserkocher mit 2 kW braucht in drei Minuten 0,1 kWh; ein Kühlschrank mit durchschnittlich 0,1 kW braucht am Tag 2,4 kWh. Der Stromzähler zählt Energie. Für Leitungen, Sicherungen und den Netzanschluss zählt dagegen die Leistung, die gleichzeitig auftritt.

Der Lastgang zeigt die Leistung über die Zeit, meist als Mittelwerte über je eine Viertelstunde. Die Fläche unter dem Lastgang ist die Energie (Station 10). Der höchste Wert heißt Spitzenlast, der niedrigste Grundlast. Ein Haushalt hat Spitzen am Morgen und am Abend, eine Solaranlage liefert ihre größte Leistung mittags.

Die Volllaststunden einer Anlage sind ihre Jahresenergie geteilt durch die Nennleistung. Eine Photovoltaikanlage (PV-Anlage) mit 6 kWp (Kilowatt peak, Nennleistung der Module unter Standard-Testbedingungen), die 5 520 kWh im Jahr erzeugt, hat 920 Volllaststunden. Teilt man durch die 8 760 Stunden des Jahres, erhält man den Kapazitätsfaktor, hier 10,5 %. Das Fraunhofer ISE nennt für PV-Dachanlagen in Deutschland nach Daten der Übertragungsnetzbetreiber im Mittel 922 Volllaststunden (2021) und setzt in einem Rechenbeispiel für eine neue Anlage 980 an; für neue Windenergieanlagen an Land setzt es je nach Standort 1 800–3 200 Volllaststunden an.

Eine PV-Anlage erzeugt mittags, der Haushalt braucht morgens und abends Strom. Ohne Speicher nutzt ein Haushalt deshalb nur einen Teil des eigenen Solarstroms selbst; das Fraunhofer ISE nennt je nach Anlagengröße 20–40 % des erzeugten Stroms. Ein Batteriespeicher verschiebt den Überschuss vom Mittag in den Abend. Zwei Kennzahlen beschreiben das Ergebnis: Die Eigenverbrauchsquote ist der Anteil der Erzeugung, der selbst genutzt wird, der Autarkiegrad der Anteil des Verbrauchs, der selbst gedeckt wird.

Aus einem Lastgang mit Viertelstundenmittelwerten P_k folgt die Energie W=\sum_k P_k\,\Delta t mit \Delta t=0,25\unit{h}, die mittlere Leistung \bar P=W/T und die Höchstleistung P_\text{max}. Sortiert man die 8 760 Stundenwerte eines Jahres der Größe nach, entsteht die Jahresdauerlinie (Station 18): Sie zeigt, an wie vielen Stunden eine Leistung überschritten wird. Die Fläche darunter ist wieder die Jahresenergie. Für einen Verbraucher heißt der Quotient T_\text{B}=W/P_\text{max} Benutzungsdauer, für eine Erzeugungsanlage mit der Nennleistung statt der Höchstlast Volllaststunden; die Stromnetzentgeltverordnung (Anlage 4) definiert die Jahresbenutzungsdauer genau so.

Die Höchstlast einer Gruppe ist kleiner als die Summe der Einzelhöchstlasten, weil die Spitzen nicht gleichzeitig auftreten. Das Verhältnis heißt Gleichzeitigkeitsfaktor, g=P_\text{max,Gruppe}/\sum_i P_{\text{max},i}\le1. Netze werden für die Gruppenlast bemessen; das Vertiefungsmodul zeigt, wie g mit der Zahl der Haushalte sinkt.

Der Energieinhalt E eines Speichers ist die kumulierte Differenz aus Laden und Entladen, begrenzt auf 0\le E\le C: E_k=E_{k-1}+\eta_\text{L}\,P_{\text{L},k}\,\Delta t-\frac{P_{\text{E},k}}{\eta_\text{E}}\,\Delta t Dabei sind P_\text{L} und P_\text{E} Lade- und Entladeleistung (höchstens die Speicherleistung) und \eta_\text{L}, \eta_\text{E} die Wirkungsgrade. Die Grafik rechnet mit je 95 % (Modellwert, für Laden und Entladen zusammen gut 90 %); die Stromspeicher-Inspektion 2026 von HTW Berlin und aquu hat für Heimspeicher mittlere Batteriewirkungsgrade über Laden und Entladen von 87,9 bis 97,1 % gemessen. In der Tabellenkalkulation ist das eine Zeile je Viertelstunde mit MIN und MAX für die Grenzen.

Mit Erzeugung W_\text{PV}, Verbrauch W_\text{L}, Einspeisung W_\text{E} und Netzbezug W_\text{N} sind Eigenverbrauchsquote e=1-W_\text{E}/W_\text{PV} und Autarkiegrad d=1-W_\text{N}/W_\text{L}. Für das ganze Stromsystem ist die Residuallast die Last minus die Einspeisung aus Wind und Sonne, R(t)=L(t)-G(t): Sie müssen regelbare Kraftwerke, Speicher, Importe oder flexible Verbraucher decken. Ist sie negativ, gibt es einen Überschuss. Ihre Dauerlinie zeigt, wie viele Stunden Überschuss oder Mangel herrschen, aber nicht, in welcher Reihenfolge.

Volllaststunden realer Anlagen liegen unter denen neuer Anlagen an guten Standorten. Windenergieanlagen an Land erzeugten 2025 brutto 107,6 TWh (Umweltbundesamt); bei einer installierten Leistung von 68,1 GW Ende 2025 und 4,6 GW Zubau sowie knapp 0,6 GW Stilllegung im Jahr (Bundesnetzagentur) sind das bei mittleren 66,1 GW rund 1 630 Volllaststunden, in einem windschwachen Jahr. Für PV ergeben 92,2 TWh bei im Mittel rund 109 GW etwa 850 Volllaststunden. Der Bestand enthält ältere, niedrigere Anlagen, verschattete und nach Osten oder Westen ausgerichtete Dächer sowie Abregelungen. Seit dem 1. Oktober 2025 wird auch im europäischen Day-Ahead-Markt Strom in Viertelstunden gehandelt; Lastgänge in dieser Auflösung sind die Grundlage für Abrechnung und Handel.

Den Speicher legt man als Optimierungsproblem aus (Station 17). Der Autarkiegrad wächst mit der Kapazität C, aber jede weitere Kilowattstunde bringt weniger: Sobald der Speicher an sonnigen Tagen den Abend und die Nacht überbrückt, nützt zusätzliche Kapazität nur noch an wenigen Tagen. Wirtschaftlich ist die Größe, bei der der Grenznutzen, also die zusätzlich selbst genutzte Energie je kWh Kapazität mal ihrem Wert, gerade noch die annuitätischen Kosten der nächsten kWh deckt. Das Fraunhofer ISE setzt für kleine PV-Batteriespeicher 2024 Investitionen von 500–1 000 €/kWh und 15 Jahre Lebensdauer an; bei 2,2 % realem Zins sind das 39–79 € pro kWh und Jahr. Saisonale Speicherung ist eine andere Größenordnung: Wer den Sommerüberschuss in den Winter tragen will, braucht im Modell mit 6 kWp rund 1 100 kWh Speicher, mehr als das Hundertfache eines Heimspeichers mit 10 kWh.

Für Entnahmestellen mit Leistungsmessung besteht das Netzentgelt nach geltendem Recht (§ 17 Abs. 2 Stromnetzentgeltverordnung, Stand Oktober 2026) aus Jahresleistungspreis mal Jahreshöchstleistung plus Arbeitspreis mal Arbeit; im Niederspannungsnetz mit bis zu 100 000 kWh im Jahr gibt es ohne Leistungsmessung nur einen Arbeitspreis, gegebenenfalls mit Grundpreis (§ 17 Abs. 6). Nach Anlage 4 gelten zwei Preispaare mit dem Knick bei 2 500 Benutzungsstunden. Ein Beispiel ist das Preisblatt der Stadtwerke Bamberg ab 1. Januar 2026: Mittelspannung über 2 500 h 120,72 €/(kW·a) und 0,46 ct/kWh, darunter 20,98 €/(kW·a) und 4,45 ct/kWh. Jedes Kilowatt, um das ein Speicher die Jahresspitze kappt, spart dann den Leistungspreis. Die Stromnetzentgeltverordnung tritt Ende 2028 außer Kraft. Die Bundesnetzagentur hat am 6. August 2026 den Entwurf einer neuen Systematik (AgNes, Az. GBK-25-01-1#3) zur Konsultation gestellt: Für Kunden über 100 000 kWh sollen ab 2029 Arbeit und eine frei gewählte Bestellkapazität bepreist werden, mit höherem Arbeitspreis bei Überschreitung. Die Festlegung ist für Ende 2026 angekündigt; bis dahin ist das ein Entwurf.

Die Stationen hängen zusammen. Einheiten und Größenordnungen prüfen jede Rechnung, Funktionen beschreiben Zusammenhänge, und Ableitung und Integral verbinden Leistung und Energie oder Geschwindigkeit und Weg. Die Statistik sagt, wie sicher ein Ergebnis ist, und die Finanzmathematik vergleicht Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten.

Im Ring stehen alle Stationen, nach Kapiteln geordnet. Wer eine antippt, sieht ihre Verbindungen zu anderen Stationen und kann sie einzeln aufrufen. Der Lernkarten-Trainer zieht Karten aus allen Stationen der gewählten Stufe. Der Abschlusstest wählt aus jedem Kapitel bis zu drei Stationen zufällig aus und stellt aus jeder eine Frage; am Ende nennt er die Stationen, die sich zu wiederholen lohnen.

Drei Werkzeuge kehren in fast allen Stationen wieder. Linearisieren: Tangente, lineares Taylorpolynom, Newton-Verfahren und Fehlerfortpflanzung ersetzen einen gekrümmten Zusammenhang in der Nähe eines Punktes durch einen geraden, die lineare Regression eine Punktwolke durch eine Gerade. Summieren: Energie aus Leistung, Barwert aus Zahlungen, Wahrscheinlichkeit aus einer Dichte, Arbeit aus einer Kraft. Zerlegen: Vektoren in Komponenten, Signale in Schwingungen, Matrizen in Eigenvektoren, die Varianz eines Ergebnisses in die Beiträge der Einflussgrößen.

Dazu kommen drei Prüfungen, die jedes Ergebnis bestehen sollte: Die Einheit muss stimmen, die Größenordnung muss zu einer Überschlagsrechnung passen, und die Zahl der angegebenen Stellen muss zur Unsicherheit passen. Der Abschlusstest wählt aus jedem Kapitel bis zu drei Stationen zufällig aus und stellt aus jeder eine Frage; am Ende nennt er die Stationen, die sich zu wiederholen lohnen.

Viele Verfahren sind Spezialfälle weniger Prinzipien. Die Methode der kleinsten Quadrate ist eine orthogonale Projektion und bei unabhängigen, normalverteilten Fehlern gleicher Varianz zugleich die Maximum-Likelihood-Schätzung. Die Fourier-Reihe ist die Entwicklung nach einer Orthogonalbasis, wie die Zerlegung eines Vektors in Komponenten. Der Barwert eines stetigen Zahlungsstroms c(t) bei stetiger Verzinsung mit der Rate r ist \int_0^\infty c(t)\,\ee^{-rt}\,\dd t, die Laplace-Transformierte von c an der Stelle r. Und das Newton-Verfahren ist wiederholtes Linearisieren.